Sammanfattning

Arkimedes av Syrakusa (Syrakusa, ca 287 f.Kr. - Syrakusa, 212 f.Kr.) var en siciliansk matematiker, fysiker och uppfinnare.

Han betraktas som en av historiens största vetenskapsmän och matematiker och bidrog till att öka kunskapen inom områden som sträcker sig från geometri till hydrostatik (en gren av mekaniken), från optik till mekanik: Han kunde beräkna sfärens yta och volym och formulerade lagarna för kroppars flytförmåga; inom ingenjörsvetenskapen upptäckte och utnyttjade han hävstångarnas funktionsprinciper, och hans namn är förknippat med många maskiner och anordningar, t.ex. den arkeimediska skruven, som visar hans uppfinningsrikedom; de krigsmaskiner som Arkeimedes sägs ha förberett för att försvara Syrakusa mot den romerska belägringen är dock fortfarande omgärdade av en aura av mystik.

Hans liv minns vi genom många anekdoter, ibland av osäkert ursprung, som har bidragit till att bygga upp vetenskapsmannens personlighet i den kollektiva föreställningsvärlden. Till exempel har utropet èureka! (εὕρηκα! - Jag har hittat det!), som tillskrivs honom efter upptäckten av den princip om kroppars flytförmåga som fortfarande bär hans namn, förblivit berömt genom århundradena.

Historiska inslag

Det finns få säkra uppgifter om hans liv, men alla källor är överens om att han var syrakusianare och att han dödades under romarnas plundring av Syrakusa 212 f.Kr. Diodorus Siculus har också berättat att han vistades i Egypten och att det var i Alexandria som han blev vän med matematikern och astronomen Conon av Samos. Sannolikt var detta inte riktigt fallet: vetenskapsmannen skulle ha velat komma i kontakt med de tidens lärda som tillhörde skolan i Alexandria, till vilka han skickade många av sina skrifter. Under denna hypotetiska vistelse sägs Archimedes ha uppfunnit den hydrauliska skruven.

Det enda som är säkert är att han hade kontakt med Conon (vilket framgår av den sorg över hans död som uttrycks i vissa av hans verk), som han kanske träffade på Sicilien. Han brevväxlade med olika vetenskapsmän i Alexandria, bland annat Eratosthenes, som han tillägnade sin avhandling Metoden och Dositheus. Ett bra exempel på samarbetet mellan vetenskapsmannen och alexandrinerna som har kommit till oss är inledningsbrevet till avhandlingen On Spirals.

Enligt Plutarch var han släkt med monarken Hieron II. Tesen är kontroversiell men stöds av den nära vänskap och uppskattning som enligt andra författare också förenade dem. Födelsedatumet är osäkert. Vanligtvis accepteras 287 f.Kr., baserat på information från den bysantinske forskaren John Tzetzes om att han dog vid 75 års ålder. Man vet dock inte om Tzetzes förlitade sig på tillförlitliga källor som nu är försvunna eller om han bara försökte kvantifiera det faktum, som rapporterats av olika författare, att Archimedes var gammal vid tiden för mordet. Hypotesen att han var son till en syrakusisk astronom vid namn Phidias (i övrigt okänd) bygger på filologen Friedrich Blass' rekonstruktion av en mening av Archimedes från Arenarius, som hade blivit förvanskad och meningslös i manuskriptet. Om denna hypotes stämmer kan man anta att han ärvde sin kärlek till de exakta vetenskaperna från sin far.

Det är känt från bevarade verk och vittnesmål att han behandlade alla grenar av sin tids vetenskaper (aritmetik, plan och fast geometri, mekanik, optik, hydrostatik, astronomi, etc.) och olika tekniska tillämpningar.

Polybius rapporterar att han under det andra puniska kriget, på Hieron II:s begäran, ägnade sig åt att bygga krigsmaskiner som skulle hjälpa hans stad att försvara sig mot Roms angrepp (enligt Plutarkos med mindre entusiasm men enligt alla tre med stor framgång). Plutarkos berättar att Syrakusa hade bara några tusen män och en gammal mans genialitet mot Roms legioner och mäktiga flotta; Archimedes maskiner skulle ha kastat cyklopiska stenblock och en järnstorm mot Marcus Claudius Marcellus sextio imponerande quinqueremes. Han dödades 212 f.Kr. i samband med Syrakusas plundring. Enligt traditionen var mördaren en romersk soldat som inte kände igen honom och därför inte utförde ordern att fånga honom levande.

Archimedes var mycket uppskattad både i sitt eget land - han var faktiskt en referens för kung Hieron - och i Alexandria, där han korresponderade med sin tids mest berömda matematiker, samt bland romarna, så mycket att han enligt legenden beordrades att bli tillfångatagen levande (i stället blev han dödad). Den romerska befälhavaren lät bygga en grav till hans ära.

Archimedes fascinerade sin samtid i sådan utsträckning att biografiska händelser med tiden har blivit nära sammanflätade med legender och det är fortfarande svårt att skilja på fiktiva element och historisk verklighet. Till bristen på bevis läggs det faktum att Archimedes endast skrev teoretiska och spekulativa verk.

Två berömda anekdoter

I den kollektiva föreställningsvärlden är Archimedes oupplösligt förknippad med två anekdoter. Vitruvius berättar att han lär ha börjat arbeta med hydrostatik eftersom härskaren Hieron II hade bett honom avgöra om en krona var gjord av rent guld eller om andra metaller användes (inuti kronan). Han upptäckte hur han skulle lösa problemet när han tog ett bad och märkte att när han sänkte sig ner i vattnet steg dess nivå. Observationen skulle ha gjort honom så lycklig att han skulle ha lämnat huset naken och sprungit genom Syrakusas gator och utropat "εὕρηκα" (èureka!, jag har hittat!). Om vi inte hade känt till avhandlingen On Floating Bodies hade vi inte kunnat dra slutsatser om den arkeimediska hydrostatiken från den vitruvianska skildringen.

Vitruvius rapporterar att problemet skulle lösas genom att mäta volymen av kronan och en lika tung guldbit genom att sänka dem i ett kärl fyllt med vatten och mäta det överflödande vattnet. Detta är dock ett osannolikt förfarande, både för att det innebär ett alltför stort fel och för att det inte har något samband med den hydrostatik som utvecklades av Archimedes. Enligt en mer tillförlitlig rekonstruktion, som finns bevarad i senantiken, föreslog Arkimedes att kronan och en lika stor mängd guld skulle vägas i vatten. Om kronan hade varit av rent guld skulle balansen ha varit i balans. Eftersom vågen tippade över på guldets sida kunde man i stället dra slutsatsen att kronan, eftersom vikterna var lika stora, hade genomgått en större hydrostatisk uppåtriktad tryckkraft, så den måste ha haft en större volym, vilket innebar att den måste ha tillverkats av andra metaller också, eftersom dessa metaller (t.ex. silver) hade en lägre densitet än guld.

Enligt en annan lika berömd anekdot lyckades Archimedes (eller Hieron) flytta ett fartyg tack vare en maskin som han uppfann. Han var upphöjd av sin förmåga att bygga maskiner som kunde flytta stora vikter med små krafter och sägs vid detta eller ett annat tillfälle ha utropat: "Ge mig en fot och jag ska lyfta jorden". Frasen citeras, med mindre variationer, av olika författare, bland annat Pappus av Alexandria.

Legender om döden

Legenden har också fört över till eftervärlden Archimedes sista ord till soldaten som skulle döda honom: "noli, obsecro, istum disturbare" (förstör inte den här teckningen). tre olika versioner av Archimedes död.

I den första skriver han att en romersk soldat påstås ha beordrat Archimedes att följa med honom till Marcellus; när han vägrade dödade soldaten honom.

I det andra fallet ska en romersk soldat ha dykt upp för att döda Archimedes och denne bad honom förgäves att låta honom avsluta den demonstration han höll på med.

I det tredje fallet sägs soldater ha stött på Archimedes när han förde med sig några vetenskapliga instrument, solur, sfärer och kvadrater, till Marcellus i en låda; soldaterna trodde att lådan innehöll guld och ska ha dödat Archimedes för att kunna lägga beslag på den.

Enligt Titus Livius var Marcellus, som skulle ha känt till och uppskattat det enorma värdet av Archimedes' genialitet och kanske ville använda den i republikens tjänst, djupt bedrövad över hans död. Dessa författare berättar att han lät ge vetenskapsmannen en hedervärd begravning. Detta rapporteras dock inte av Polybius, som anses vara en mer auktoritativ källa om belägringen och plundringen av Syrakusa.

Cicero berättar att han upptäckte Archimedes grav tack vare en sfär inskriven i en cylinder, som enligt uppgift hade huggits in där i enlighet med vetenskapsmannens önskemål.

Ordnance

Archimedes från Syrakusa har en stor del av sin popularitet att tacka för sitt bidrag till försvaret av Syrakusa mot den romerska belägringen under det andra puniska kriget. Polybius, Titus Livius och Plutarch beskriver krigsmaskiner som han uppfunnit, bland annat manus ferrea, en mekanisk klo som kan få fiendens fartyg att kantra, och jetvapen som han har utvecklat.

På 200-talet rapporterade författaren Lucian av Samosata att Archimedes under belägringen av Syrakusa (ca 214-212 f.Kr.) förstörde fiendens fartyg med eld. Flera århundraden senare nämner Antemius av Tralle "linser med eld" som vapen som Archimedes konstruerat. Instrumentet, som kallades Archimedes brinnande speglar, utformades för att koncentrera solljuset på fartyg som närmade sig och få dem att fatta eld.

Detta hypotetiska vapen har debatterats sedan renässansen när det gäller dess sanningshalt. René Descartes trodde att den var falsk, medan moderna forskare har försökt återskapa effekten med hjälp av de enda medel som Arkimedes hade tillgång till. Man har antagit att ett stort antal polerade brons- eller kopparsköldar användes som speglar för att fokusera solljuset på ett fartyg. Detta skulle ha utnyttjat principen om parabolisk reflektion på ett liknande sätt som en solugn.

Ett experiment för att testa Archimedes brinnande speglar utfördes 1973 av den grekiske forskaren Ioannis Sakkas. Experimentet ägde rum på marinbasen Skaramagas utanför Aten. Vid detta tillfälle användes 70 speglar, alla med kopparbeläggning och med en storlek på cirka 1,5 meter. Speglarna riktades mot en plywoodkopia av ett romerskt krigsfartyg på ett avstånd av cirka 50 meter. När speglarna fokuserade solens strålar på rätt sätt började fartyget brinna inom några sekunder. Modellen hade en beläggning av tjärfärg som kan ha underlättat förbränningen. En sådan beläggning skulle ha varit vanlig på den tidens fartyg.

Syracuse

Moschion, i ett verk som Athenéus rapporterar stora utdrag ur, beskriver ett enormt skepp som beställdes av kung Hieron II och byggdes av Archias från Korint Det var det mest imponerande skeppet i antiken och kallades Siracusia. Namnet ändrades till Alexandria när den skickades som en gåva till kung Ptolemaios III av Egypten tillsammans med en last spannmål för att visa den sicilianska stadens rikedom. För denna båt använde Archimedes ett instrument, cochlea, som gjorde det möjligt att pumpa ut vatten ur lastrummen och hålla dem torra.

Vattenklocka

Ett arabiskt manuskript innehåller en beskrivning av en genial vattenklocka som Archimedes har konstruerat. I klockan hölls flödet av utgående vatten konstant genom en flytande ventil.

Klockan bestod av två tankar, den ena upphöjd över den andra. Den övre var utrustad med en kran som gav ett konstant vattenflöde till den nedre bassängen.

Ovanför den nedre bassängen fanns en vridbar planka med en tråd som var lindad och i vars ändar en liten sten och en flottör var bundna.

I början av dagen måste bottenbehållaren vara tom och linan drogs ner så att flottören rörde vid botten och stenen steg upp till toppen.

Genom att öppna kranen började den nedre tanken fyllas, vilket höjde flottören och sänkte stenen. Längden på linan och vattenflödet kalibrerades så att klockan var 12.00 när flötet befann sig på stenens höjd och 18.00 när stenen befann sig på botten.

Archimedes stod inför problemet att hålla flödet från kranen konstant: när den övre bassängen tömdes minskade vattentrycket och flödet minskade. Så han lade till en tredje behållare högre upp än de två första, som med hjälp av en flottör fyllde den andra behållaren för att hålla nivån konstant och därmed det tryck som vattnet kom ut ur kranen.

En förtjänst som idag också erkänns för Archimedes är att han var den förste som tolkade tiden som en fysisk storhet som kan analyseras med de matematiska verktyg som används för geometriska storheter (t.ex. i sin avhandling Om spiraler representerar han tidsintervaller med segment och tillämpar Euklids teori om proportioner på dem).

Mekaniska uppfinningar

Athenaeus berättar att Arkimedes hade konstruerat en maskin med vilken en enda man kunde flytta ett fartyg med besättning och last. Hos Athenéus avser episoden sjösättningen av Syrakusa, medan Plutarkos talar om ett demonstrationsexperiment som utfördes för att visa suveränen mekanikens möjligheter. Dessa berättelser innehåller utan tvekan överdrifter, men det faktum att Archimedes hade utvecklat den mekaniska teorin som gjorde det möjligt att konstruera maskiner med stor mekanisk fördel garanterar att de hade en verklig grund.

Enligt Athenéus hade han uppfunnit den mekanism för att pumpa vatten som används för bevattning av odlade fält, den så kallade Archimedesskruven.

Teknikhistorikern Andre W. Sleeswyk har också tillskrivit Archimedes den kilometerräknare som Vitruvius beskrev.

Architronito, som beskrevs av Leonardo da Vinci, var en ångkanon vars uppfinning går tillbaka till Archimedes från Syrakusa omkring 200 f.Kr. Maskinen tros ha använts vid belägringen av Syrakusa 212 f.Kr. och 49 f.Kr., vilket Julius Caesar vittnar om under belägringen av Marseille.

Planetarium

En av Archimedes mest beundrade prestationer under antiken var planetariet. Den bästa informationen om denna apparat kommer från Cicero, som skriver att när Syrakusa plundrades av romerska trupper år 212 f.Kr. tog konsul Marcus Claudius Marcellus med sig till Rom en anordning som byggts av Arkimedes och som återgav himlens valv på en sfär, och en annan som förutspådde solens, månens och planeternas skenbara rörelser, vilket alltså motsvarar en modern armillär sfär. Cicero rapporterar om Gaius Sulpicius Gallus intryck, som hade kunnat observera det extraordinära objektet, och betonar hur Archimedes' genialitet hade lyckats generera planeternas så olika rörelser från en enda rotation. Tack vare Pappus vet man att Archimedes hade beskrivit planetariets konstruktion i sitt försvunna verk On the Construction of the Spheres (om sfärernas konstruktion).

Upptäckten av Antikythera-maskinen, en kugghjulsapparat som enligt vissa undersökningar härstammar från andra hälften av 200-talet f.Kr. och som visar hur genomarbetade de mekanismer som byggdes för att återge stjärnornas rörelser var, har återuppväckt intresset för Arkimedes planetarium. En redskap som kan identifieras som tillhörande Archimedes planetarium rapporterades ha hittats i juli 2006 i Olbia. Studier av fyndet presenterades för allmänheten i december 2008. Enligt en rekonstruktion kan planetariet, som sägs ha övergått till ättlingarna till Syrakusas erövrare, ha gått förlorat under jorden i Olbia (ett troligt stopp på resan) innan det fartyg som förde Marcus Claudius Marcellus (konsul 166 f.Kr.) till Numidien gick i sjönöd.

Mätning av pupilldiametern

I Arenarius (bok I, kap. 13), efter att ha nämnt en metod för att mäta solens vinkel med hjälp av en graderad linjal på vilken han placerade en liten cylinder, konstaterar Archimedes att den vinkel som bildas på detta sätt (topp i ögat och tangenter till cylinderns och solens kanter) inte är ett korrekt mått eftersom pupillens storlek ännu inte är känd. Han placerade sedan en andra cylinder av en annan färg och placerade ögat längre bak från linjalens ände. På så sätt fick han fram pupillens genomsnittliga diameter och därmed en mer exakt uppskattning av solens diameter. Den om än korta diskussionen i ämnet tyder på att Archimedes i denna fråga, snarare än att hänvisa till Euklides skrifter, också tog hänsyn till Erophilus av Chalcedon, som hade ägnat flera skrifter åt ögats sammansättning, vilka alla är helt förlorade och endast kända genom Galens citat av dem.

Archimedes vetenskapliga prestationer kan avslöjas genom att först beskriva innehållet i de bevarade verken och sedan bevisen för de förlorade verken.

Bevarade verk

Redan i Bibeln föreslogs det att förhållandet mellan halvcirkeln och radien var ungefär 3, och denna uppskattning accepterades allmänt.

I sitt korta verk The Measure of the Circle visar Archimedes först att en cirkel är likvärdig med en triangel med en bas vars längd är lika lång som omkretsen och en höjd vars längd är lika lång som radien. Detta resultat erhålls genom att approximera cirkeln från insidan och utsidan med inskrivna och omskrivna regelbundna polygoner. På samma sätt förklarar Arkimedes en metod för att så långt som möjligt närma sig förhållandet mellan längden på en omkrets och diametern på en given cirkel, som idag betecknas π. De erhållna uppskattningarna begränsar detta värde till mellan 22

I verket Quadrature of the Parabola (som Archimedes tillägnade Dositeo) beräknas arean av ett parabelsegment, en figur som avgränsas av en parabel och en sekantlinje, som inte nödvändigtvis är ortogonal till parabelns axel.

Det visas att den största inskrivna triangeln kan erhållas genom ett visst förfarande. Sekantens segment mellan de två skärningspunkterna kallas för parabelsegmentets bas. Linjerna som är parallella med parabelns axel och som går genom basens ytterpunkter beaktas. En tredje linje dras sedan parallellt med de två första och på samma avstånd från dem.

Den senare linjens skärningspunkt med parabeln bestämmer triangelns tredje hörn. Genom att subtrahera den största inskrivna triangeln från parabelsegmentet får man två nya parabelsegment, i vilka två nya trianglar kan skrivas in. Genom att upprepa proceduren fylls parabelsegmentet med ett oändligt antal trianglar.

Den erforderliga arean erhålls genom att beräkna trianglarnas areor och summera de oändliga termerna som erhålls. Det sista steget reduceras till summan av de geometriska serierna av orsak 1

Detta är det första kända exemplet på summan av en serie. I början av arbetet introduceras det som nu kallas Archimedes axiom.

Givet ett parabelsegment som avgränsas av sekanten AC, är en första maximal triangel ABC inskriven.

Ytterligare två trianglar ADB och BEC är inskrivna i de två parabelsegmenten AB och BC.

Vi fortsätter på samma sätt för de fyra parabolsegmenten AD, DB, BE och EC och bildar trianglarna AFD, DGB, BHE och EIC.

Bevisa med hjälp av parabelns egenskaper att arean av triangeln ABC är 4 gånger arean av ADB + BEC och att: A D B + B E C = 4 ( A F D + D G B + B H E + E I C ) {ADB+BEC=4(AFD+DGB+BHE+EIC)}

Varje steg ökar triangelns area 1

Här räcker det med att visa att den polygon som konstrueras på detta sätt faktiskt närmar sig parabelsegmentet och att summan av serierna av trianglarnas areor är lika med 4.

Sull'equilibrio dei piani ovvero: sui centri di gravità dei piani, ett verk i två böcker, är den första avhandlingen om statik som har kommit till oss. Archimedes formulerar i den en rad postulat som han baserar den nya vetenskapen på och visar på hävstångens lag. Postulaten definierar också implicit begreppet tyngdpunkt, vars läge bestäms för olika plana geometriska figurer.

I boken On Spirals, som är ett av hans viktigaste verk, definierar Archimedes det som idag kallas Archimedes-spiralen med hjälp av en kinematisk metod och kommer fram till två resultat av stor betydelse. För det första beräknar han arean av spiralens första vändning med en metod som föregriper Riemanns integration. Han lyckas sedan beräkna tangentens riktning i varje punkt på kurvan, vilket är en föregripande metod som kommer att användas inom differentialgeometrin. Archimedes definition av spiralen: en linje med en fast ände roterar jämnt; en punkt rör sig på den med en jämn rörelse: den kurva som beskrivs av denna punkt är spiralen.

De viktigaste resultaten av Della sfera e del cilindro, ett verk i två böcker, är att sfärens yta är fyra gånger större än den största cirkelns yta och att sfärens volym är två tredjedelar av volymen av den omskrivna cylindern.

Enligt en tradition som överlämnats av Plutarch och Cicero var Archimedes så stolt över denna sista prestation att han ville att den skulle återges som en epitafium på hans grav.

I sitt verk On conoids and spheroids definierar Archimedes ellipsoider, paraboloider och hyperboloider av rotation, tar hänsyn till segment som erhålls genom att dissekera dessa figurer med plan och beräknar deras volymer.

On Floating Bodies är ett av Arkimedes viktigaste verk, med vilket vetenskapen hydrostatik grundades. I den första av de två böckerna i verket anges ett postulat från vilket det som nu felaktigt kallas Archimedes princip härleds som en sats. Förutom att beräkna flottörernas statiska jämviktslägen visas att vattnet i haven under jämviktsförhållanden antar en sfärisk form. Sedan Parmenides tid visste de grekiska astronomerna att jorden hade en sfärisk form, men här har man för första gången dragit slutsatsen från fysiska principer.

I den andra boken studeras jämviktsstabiliteten hos flytande paraboloidsegment. Problemet valdes ut för att det är intressant med tanke på dess tillämpningar inom sjöfartstekniken, men lösningen är också av stort matematiskt intresse. Archimedes studerar stabiliteten när två parametrar varierar, en formparameter och en densitet, och fastställer tröskelvärden för båda parametrarna som skiljer stabila från instabila konfigurationer. För E.J. Dijksterhuis är dessa resultat "definitivt utanför den klassiska matematikens gränser".

I Arenario (se länken längst ner för italiensk översättning), som riktar sig till Gelone II, försöker Arkimedes fastställa hur många sandkorn som skulle kunna fylla en sfär med fixstjärnor. Problemet beror på det grekiska numreringssystemet, som inte tillåter att så stora tal uttrycks. Även om verket är det enklaste när det gäller matematiska tekniker bland Archimedes verk, har det flera intressanta skäl. För det första införs ett nytt numeriskt system, som praktiskt taget gör det möjligt att generera hur stora tal som helst. Det största numret som nämns är det som nu skrivs 108-1016. Det astronomiska sammanhanget motiverar sedan två viktiga utvikningar. Den första handlar om Aristarkos' heliocentriska teori och är den viktigaste källan i ämnet. Den andra beskriver en exakt mätning av solens synliga magnitud, vilket ger en sällsynt illustration av den antika experimentella metoden. Det bör dock noteras att utmaningen mot Aristarkos' heliocentriska teser i första hand är geometrisk, inte astronomisk, för även om man antar att kosmos är en sfär med jorden i centrum, påpekar Arkimedes att sfärens centrum inte har någon storlek och inte kan ha något förhållande till ytan (Bok I, kap. 6).

Ur vetenskaplig synvinkel är Archimedes demonstrationer av hävstängerna ganska innovativa. Den sicilianska vetenskapsmannen använder sig av en strikt deduktiv metod som bygger på mekaniken för fasta kroppars jämvikt. För att göra detta visar han sina teser och begrepp om jämvikt och barycentrum med hjälp av proportionsteorin och i geometriska termer. På grundval av dessa studier fastställdes den första lagen om hävstångens jämvikt:

Om man utgår från idén om en balans, som består av ett segment och en punkt, där två kroppar hängs upp i jämvikt, kan man konstatera att de två kropparnas vikt är direkt proportionell mot kropparnas area och volym. Legenden säger att Arkimedes sa: "Ge mig en hävstång och jag lyfter världen" efter att ha upptäckt hävstångarnas andra lag. Med hjälp av fördelaktiga spakar kan tunga laster lyftas med en liten kraft, enligt lagen:

P : R = b R : b P {\displaystyle P:R=b_{R}:b_{P}}

där P {P} är effekten och R {\displaystyle R} motståndet, medan b P {\displaystyle b_{P}} e b R {\displaystyle b_{R}} är de respektive handlingsarmarna.

Det korta verket The Method on Mechanical Problems, som varit försvunnet åtminstone sedan medeltiden, lästes för första gången i den berömda palimpsest som Heiberg hittade 1906. Det försvann sedan på nytt, troligen stulet av en munk under en manuskriptöverföring, och återupptäcktes 1998. Den ger en inblick i de metoder som Archimedes använde i sin forskning. När han vänder sig till Eratosthenes förklarar han att han använde två metoder i sitt arbete.

När han väl hade identifierat resultatet använde han för att formellt bevisa det vad som senare kallades för utmattningsmetoden, som det finns många exempel på i hans andra verk. Denna metod gav dock ingen nyckel för att identifiera resultatet. För detta ändamål använde Archimedes en "mekanisk metod" som byggde på hans statik och idén om att dela upp figurer i ett oändligt antal oändligt små delar. Archimedes ansåg att denna metod inte var strikt, men gav andra matematiker exempel på dess heuristiska värde när det gäller att hitta areor och volymer, t.ex. används den mekaniska metoden för att hitta arean av ett parabelsegment.

Metoden har också filosofiska kopplingar eftersom den ställer problemet att betrakta matematikens tillämpning på fysiken som en nödvändig begränsning. Archimedes använde sig av intuition för att få omedelbara och innovativa mekaniska resultat, men började sedan noggrant demonstrera dem ur geometrisk synvinkel.

Fragment och vittnesmål om förlorade verk

Stomachion är ett grekiskt pussel som liknar tangrammet och som Archimedes tillägnade ett verk som det finns två fragment av, ett i arabisk översättning och ett i Archimedes' palimpsest. Analyser som utfördes i början av 2000-talet har gjort det möjligt att läsa nya delar, som klargör att Archimedes försökte avgöra på hur många sätt de ingående figurerna kunde sättas ihop till en fyrkant. Det är ett svårt problem där kombinatoriska aspekter är sammanflätade med geometriska aspekter.

Oxenproblemet består av två manuskript som presenterar ett epigram där Archimedes utmanar alexandrinska matematiker att beräkna antalet oxar och kor i Armenti del Sole genom att lösa ett system av åtta linjära ekvationer med två kvadratiska villkor. Det är ett diophantinskt problem som uttrycks i enkla termer, men dess minsta lösning består av tal med 206 545 siffror.

Frågan togs upp ur en annan synvinkel 1975 av Keith G. Calkins och togs senare upp 2004 av Umberto Bartocci och Maria Cristina Vipera, två matematiker från universitetet i Perugia. Hypotesen är att ett "litet" fel i översättningen av problemtexten gjorde det "omöjligt" (vissa hävdar att detta var Archimedes avsikt) att lösa en fråga som, om den hade formulerats på ett något annorlunda sätt, skulle ha kunnat lösas med hjälp av den tidens matematiska metoder.

Enligt Calogero Savarino är det inte ett översättningsfel i texten utan en feltolkning, eller en kombination av de två.

Lemmaboken har kommit till oss genom en förvanskad arabisk text. Den innehåller en rad geometriska lemman vars intresse minskas av dagens okunskap om i vilket sammanhang de användes.

Archimedes hade skrivit Catoctrica, en avhandling om ljusets reflektion, som vi har indirekta uppgifter om. Apuleius hävdar att det var ett omfattande verk som bland annat handlade om förstoring med hjälp av böjda speglar, brinnande speglar och regnbågen. Enligt Olympiodoros den yngre studerades även fenomenet brytning där. I ett skolium till den pseudoeuklidiska Catoctrica tillskrivs Archimedes slutsatsen att reflektionslagarna härrör från principen om den optiska vägens reversibilitet.

I ett förlorat verk, som Pappo ger information om, beskrev Archimedes konstruktionen av tretton halvstyva polyeder, som fortfarande kallas archimediska polyeder (i modern terminologi finns det femton archimediska polyeder, eftersom de också inkluderar två polyeder som Archimedes inte hade tänkt på, de som felaktigt kallas archimediska prismor och archimediska antiprismor).

Herons formel, som uttrycker arean av en triangel utifrån sidorna, kallas så eftersom den finns i Heron av Alexandrias Metrics, men enligt al-Birunis vittnesmål är den verkliga författaren Archimedes, som skulle ha förklarat den i ett annat förlorat verk. Den demonstration som Heron överförde är särskilt intressant eftersom man där kvadrerar en kvadrat, vilket är ett märkligt förfarande i grekisk matematik, eftersom den erhållna enheten inte kan representeras i ett tredimensionellt rum.

Thābit ibn Qurra presenterar en arabisk text översatt av J. Tropfke som Archimedes bok. Bland de teorem som ingår i detta verk finns konstruktionen av en regelbunden heptagon, ett problem som inte kan lösas med linjal och kompass.

Ett avsnitt från Hipparchos som citerar Archimedes bestämningar av solstickorna, som överförts av Ptolemaios, tyder på att han också skrev astronomiska verk. Pappus, Heron och Simplicius tillskriver honom olika avhandlingar om mekanik och flera titlar på geometriska verk har överförts av arabiska författare. Boken om konstruktionen av en mekanisk vattenklocka, som endast finns bevarad i arabisk översättning och som tillskrivs pseudo-Arkimedes, är i själva verket troligen ett verk av Philo av Bysans.

Archimedes Palimpsest är en medeltida pergamentkodx som innehåller några av den syrakusiske vetenskapsmannens verk i den underliggande skriften. År 1906 undersökte den danske professorn Johan Ludvig Heiberg 177 pergamentark av getskinn i Konstantinopel, som innehöll böner från 1200-talet (palimpsest), och upptäckte att de innehöll skrifter av Arkimedes. På grund av den höga kostnaden för pergament skrapades redan skrivna ark för att skriva om andra texter på dem, vilket innebar att man återanvände mediet. Namnet på författaren till skrapningen är känt: Johannes Myronas, som avslutade omskrivningen av bönerna den 14 april 1229. Palimpsestet tillbringade hundratals år i ett klosterbibliotek i Konstantinopel innan det stals och såldes till en privat samlare 1920. Den 29 oktober 1998 såldes den på auktion av Christie's i New York till en anonym köpare för två miljoner dollar.

Kodexen innehåller sju avhandlingar av Arkimedes, inklusive det enda bevarade exemplaret på grekiska (bysantinska) av Om flytande kroppar och det enda exemplaret av Metoden för mekaniska teorem, som nämns i Suida och som man trodde var förlorat för alltid. Stomachion identifierades också på sidorna, med en mer exakt analys. Palimpsestet studerades på Walters Art Museum i Baltimore, Maryland, där det genomgick en rad moderna tester, inklusive användning av ultraviolett och röntgenstrålar för att läsa den underliggande texten. I slutet av arbetet publicerade Reviel Netz, William Noel, Natalie Tchernetska och Nigel Wilson The Archimedes Palimpsest (2011) i två volymer: den första volymen är huvudsakligen kodikologisk och beskriver handskrifterna, deras historia, de tekniker som använts för att återskapa dem och presentationen av texterna; den andra volymen innehåller, på sidorna bredvid varandra, den fotograferade uppslagsbladet i kodexen med transkriptionen av den grekiska texten och den engelska översättningen. Sidorna i palimpsestet finns tillgängliga på nätet som fotografiska bilder, men de är nästan omöjliga att läsa.

De avhandlingar av Archimedes som finns i palimpsestet är följande: Om planens balans, om spiraler, mätning av en cirkel, om sfären och cylindern, om flytande kroppar, metod för mekaniska teorem och stomachion. Palimpsestet innehåller fortfarande två tal av Hyperides (mot Dionda och mot Timander), en kommentar till Aristoteles' Kategorier (troligen en del av Porfyrs kommentar Ad Gedalium) och, av okända författare, ett liv av den helige Pantaleon, två andra texter och en Menaion, en östkyrklig text för helgdagar som inte infaller på påsken.

Den fängslande historien om palimpsestet är i själva verket bara en aspekt av traditionen kring Archimedes verk, dvs. den process genom vilken hans verk har kommit till oss.

Vi måste börja med att konstatera att hans mest avancerade texter redan under antiken inte var särskilt uppskattade, till den grad att Eutocius (600-talet e.Kr.) inte tycks ha känt till vare sig parabelns kvadratur eller spiralerna. Vid Eutocios tid verkar det faktiskt bara ha funnits två böcker om sfären och cylindern, cirkelns mått och de två böckerna om planernas jämvikt i omlopp. Araberna tycks faktiskt inte ha känt till mycket mer eller annat än Archimedes arbete, så till den grad att under den latinska medeltiden var den enda arkimediska texten i omlopp olika versioner av Measure of the Circle översatta från arabiska.

Situationen i den grekiska världen var annorlunda: på 800-talet upprättades minst tre kodices med arbeten av Archimedes i Konstantinopel av matematikern Leo: codex A, codex ฿ (b "gotisk") och codex C, den som senare skulle bli en palimpsest på 1000-talet. A och ฿ hittades under 1200-talets andra hälft i biblioteket vid den påvliga domstolen i Viterbo: Vilhelm av Moerbeke använde dem för sin översättning av Archimedes verk år 1269. Vilhelms översättning finns idag bevarad i ms. Ottob. Lat. 1850 i Vatikanbiblioteket där den upptäcktes av Valentin Rose 1882. Codex ฿ (som var den enda förutom codex C som innehöll den grekiska texten till Floaten) gick förlorad efter 1311. Codex A fick ett annat öde: under 1400-talet kom den först i kardinal Bessariones ägo, som lät göra en kopia som nu finns i Biblioteca Nazionale Marciana i Venedig, och sedan i händerna på humanisten Giorgio Valla av Piacenza, som publicerade några korta utdrag ur Eutocius' kommentar i sin encyklopedi De expetendis et fugiendis rebus opus, som publicerades postumt i Venedig 1501. Codex A kopierades flera andra gånger och hamnade i kardinal Rodolfo Prios ägo; den såldes vid hans död (1564) och har inte återfunnits sedan dess.

De många kopior som finns kvar av den (och i synnerhet ms Laurenziano XXVIII,4, som Poliziano hade kopierat för Lorenzo de Medici med absolut trohet mot den antika förlagan från 800-talet) har dock gjort det möjligt för den store danske filologen Johan Ludvig Heiberg att rekonstruera denna viktiga förlorade codex (Heibergs slutgiltiga utgåva av korpusen är från 1910-15).

Den översättning som gjordes i mitten av 1400-talet av Iacopo da San Cassiano förtjänar att diskuteras separat. I Heibergs kölvatten trodde man hittills att Iacopo översatte med hjälp av codex A. Nyare studier har i stället visat att Iacopo använde en modell som är oberoende av A. Hans översättning utgör således en fjärde gren av den arkimediska traditionen, tillsammans med A, ฿ och palimpsest C.

Archimedes arbete är en av höjdpunkterna i antikens vetenskapliga utveckling. I den kombineras förmågan att identifiera postulat som är användbara för att grunda nya teorier med kraften och originaliteten hos de matematiska verktyg som introduceras, med ett större intresse för vetenskapens och matematikens grunder. Plutarkos berättar faktiskt att Archimedes övertalades av kung Hieron att ägna sig åt de mer tillämpade aspekterna och bygga maskiner, främst av krigisk karaktär, för att mer konkret bidra till samhällets utveckling och säkerhet. Archimedes ägnade sig åt matematik, fysik och ingenjörskonst vid en tid då gränserna mellan dessa discipliner inte var lika tydliga som i dag, men då matematiken enligt den platonska filosofin måste vara abstrakt och inte tillämpad som i hans uppfinningar. Archimedes arbete utgjorde således för första gången en viktig tillämpning av geometriens lagar på fysiken, särskilt på statik och hydrostatik.

Under antiken beskrevs Archimedes och hans uppfinningar med förundran och förvåning av klassiska grekiska och latinska författare som Cicero, Plutarch och Seneca. Tack vare dessa redogörelser under senmedeltiden och den tidiga moderniteten väcktes ett stort intresse för forskning och återvinning av Archimedes verk, som under medeltiden överfördes och ibland gick förlorade i manuskriptform. Den romerska kulturen imponerades alltså mest av Archimedes maskiner snarare än av hans matematiska och geometriska studier, så till den grad att matematikhistorikern Carl Benjamin Boyer gick så långt som att mer än bestämt hävda att Ciceros upptäckt av Archimedes grav var det största bidraget, kanske det enda, som den romerska världen gjorde till matematiken.

Piero della Francesca, Stevino, Galileo, Kepler och andra fram till Newton studerade, återupptog och utvidgade systematiskt Archimedes vetenskapliga studier, särskilt när det gäller infinitesimal kalkyl.

Galileos införande av den moderna vetenskapliga metoden för att studera och verifiera sina resultat inspirerades av den metod som Archimedes använde för att undersöka och demonstrera sina insikter. Dessutom hittade vetenskapsmannen från Pisan ett sätt att tillämpa geometriska metoder som liknar Archimedes' för att beskriva kroppars accelererade fallande rörelse, och lyckades till slut övervinna den beskrivning av fysiken hos statiska kroppar som forskaren från Syrakusa hade utvecklat. Galilei själv kallade Archimedes för "min mästare" i sina skrifter, så mycket vördades hans arbete och arv.

Studiet av Archimedes verk engagerade därför forskare i den tidiga modern tid under lång tid och var en viktig stimulans för utvecklingen av vetenskapen som den uppfattas i dag. Forskarna har gjort motstridiga bedömningar av Archimedes inflytande under senare århundraden (t.ex. på utvecklingen av rigorösa matematiska analyser).

I Raphael Sanzios berömda fresco, Skolan i Aten, är Archimedes tecknad för att studera geometri. Donato Bramante har gjort en avbild av honom.

Den tyske poeten Schiller skrev dikten Archimedes och den unge mannen.

Archimedes avbild förekommer också på frimärken som utfärdats av Östtyskland (1973), Grekland (1983), Italien (1983), Nicaragua (1971), San Marino (1982) och Spanien (1963).

Det italienska progressiva rockbandet Premiata Forneria Marconi tillägnade vetenskapsmannen det sista spåret på albumet States of Imagination med titeln Visions of Archimedes där videon följer hans liv och uppfinningar.

Archimedes är huvudpersonen i romanen Il matematico che sfidò Roma av Francesco Grasso (Edizioni 0111, Varese, 2014).

Vetenskap

Den 14 mars firas över hela världen som Pi-dagen, eftersom det i anglosaxiska länder motsvarar 3

I Fieldsmedaljen, den högsta utmärkelsen för matematiker, finns ett porträtt av Arkimedes på medaljens baksida med en mening som tillskrivs honom: Transire suum pectus mundoque potiri, som kan översättas till: "Att höja sig över sig själv och erövra världen".

Teknik

Archimede Solar Car 1.0, en solcellsdriven bil, har utformats och byggts på Sicilien.

Archimedesprojektet förverkligades, ett solkraftverk nära Priolo Gargallo som använder en serie speglar för att producera elektricitet.

Museer och monument

I Syrakusa uppfördes en staty till vetenskapsmannens ära och Archimedes Technopark, ett område där uppfinningar reproducerades.

En annan staty av Archimedes finns i Berlins Treptower Park.

I Archea Olympia i Grekland finns ett museum tillägnat Archimedes.

Källor

1. Arkimedes
2. Archimede
3. ^ Periochae, 24.3 e 25.10-11.
4. ^ G. Cambiano, Scoperta e dimostrazione in Archimede, in «Figure meccaniche, sogni, saggi sulla scienza antica», Storia e letteratura 232, Roma 2006, pp. 111-130
5. ^ Ancient Greek: Ἀρχιμήδης; Doric Greek: [ar.kʰi.mɛː.dɛ̂ːs]
6. Год рождения Архимеда вычисляется на основании труда византийского филолога XII столетия Иоанна Цеца «Хилиады». В нём утверждается, что на момент смерти во время штурма римлянами Сиракуз в 212 году до н. э. Архимеду было 75 лет. Соответственно годом рождения был 287 год до н. э. Так как дата непротиворечива, то она и принята современными учёными[2].
7. Единственным свидетельством о Фидии является упоминание в работе Архимеда Псаммит, однако это место испорчено и не все историки согласны, что Архимед[5] в этом месте говорит о своём отце.
8. Классическое образование в Элладе богатых и знатных людей предполагало занятия философией и литературой, в то время как остальные обучали детей только тому, что знали сами. Среди всех дошедших до сегодняшнего дня работ Архимеда, свидетельств о жизни учёного, нет никаких сведений о занятиях гуманитарными науками. На основании этого С. Я. Лурье и делает соответствующие выводы.
9. En el prefacio de Sobre las espirales, dirigido a Dositeo de Pelusio, Arquímedes dice que «muchos años han pasado desde la muerte de Conon». Conon de Samos vivió c. 280-220 a. C., lo que sugiere que Arquímedes puede haber sido más viejo cuando escribió algunos de sus trabajos.