Σύνοψη

Ο Ευκλείδης (ελληνικά Εὐκλείδης, Ευκλείδης, λατινικά Euclīdēs) ήταν Έλληνας μαθηματικός και γεωμέτρης (περίπου 325 π.Χ. - περίπου 265 π.Χ.). Είναι γνωστός ως "ο πατέρας της γεωμετρίας". Δραστηριοποιήθηκε στην Αλεξάνδρεια (αρχαία Αίγυπτος) την εποχή του Πτολεμαίου Α' Σωτήρος (323 - 283 π.Χ.). Ήταν ο ιδρυτής της μαθηματικής σχολής της πόλης.

Το πιο διάσημο έργο του ήταν τα Στοιχεία, που συχνά θεωρείται το πιο επιτυχημένο εγχειρίδιο στην ιστορία των μαθηματικών. Οι ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων και των φυσικών αριθμών συνάγονται από ένα μικρό σύνολο αξιωμάτων. Το έργο αυτό, μια από τις παλαιότερες γνωστές πραγματείες που παρουσιάζει συστηματικά, με αποδείξεις, ένα μεγάλο σύνολο θεωρημάτων για τη γεωμετρία και τη θεωρητική αριθμητική, έχει γνωρίσει εκατοντάδες εκδόσεις σε όλες τις γλώσσες και τα θέματά του παραμένουν στη βάση της διδασκαλίας των μαθηματικών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση σε πολλές χώρες. Από το όνομα Ευκλείδης προέρχεται ο ευκλείδειος αλγόριθμος, η ευκλείδεια γεωμετρία (και η μη ευκλείδεια γεωμετρία) και η ευκλείδεια διαίρεση. Έγραψε επίσης για την προοπτική, τις κωνικές τομές, τη σφαιρική γεωμετρία και τη θεωρία αριθμών.

Η ζωή του είναι ελάχιστα γνωστή, επειδή έζησε στην Αλεξάνδρεια (πόλη της βόρειας Αιγύπτου) κατά τη διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου Α. Ορισμένοι Άραβες συγγραφείς ισχυρίζονται ότι ο Ευκλείδης γεννήθηκε στην Τύρο και έζησε στη Δαμασκό. Ορισμένοι Άραβες συγγραφείς ισχυρίζονται ότι ο Ευκλείδης γεννήθηκε στην Τύρο και έζησε στη Δαμασκό. Δεν υπάρχει καμία άμεση πηγή για τη ζωή του Ευκλείδη: ούτε επιστολή, ούτε αυτοβιογραφική ένδειξη (ακόμη και με τη μορφή προλόγου σε κάποιο έργο), ούτε επίσημο έγγραφο, ούτε καν αναφορά από κάποιον σύγχρονο του. Όπως συνοψίζει ο μαθηματικός ιστορικός Peter Schreiber, "δεν είναι γνωστό ούτε ένα βέβαιο γεγονός για τη ζωή του Ευκλείδη. Ήταν γιος του Ναυκράτη και έχουν διατυπωθεί τρεις υποθέσεις:

Ο Ευκλείδης πιθανότατα σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα, μαθαίνοντας τα βασικά των γνώσεών του.

Ο Πρόκλος, ο τελευταίος από τους μεγάλους Έλληνες φιλοσόφους, που έζησε γύρω στο 450, έγραψε σημαντικά σχόλια για το βιβλίο Ι των Στοιχείων. Τα σχόλια αυτά αποτελούν πολύτιμη πηγή πληροφοριών για την ιστορία των ελληνικών μαθηματικών. Έτσι γνωρίζουμε, για παράδειγμα, ότι ο Ευκλείδης συγκέντρωσε συνεισφορές από τον Εύδοξο της Κνίδου σχετικά με τη θεωρία της αναλογίας και από τον Θεαίτητο σχετικά με τα κανονικά πολύεδρα.

Στην πραγματικότητα, η παλαιότερη γνωστή γραφή για τη ζωή του Ευκλείδη εμφανίζεται σε μια περίληψη της ιστορίας της γεωμετρίας που γράφτηκε τον 5ο αιώνα μ.Χ. από τον νεοπλατωνιστή φιλόσοφο Πρόκλο, σχολιαστή του πρώτου βιβλίου των Στοιχείων. Ο ίδιος ο Πρόκλος δεν δίνει καμία πηγή για τις ενδείξεις του. Λέει μόνο: "συγκεντρώνει τα Στοιχεία του, και υπενθυμίζει με αδιάσειστες αποδείξεις όσα οι προκάτοχοί του είχαν διδάξει με χαλαρό τρόπο. Ο άνθρωπος αυτός έζησε, από την άλλη πλευρά, υπό τον πρώτο Πτολεμαίο, αφού ο Αρχιμήδης αναφέρει τον Ευκλείδη. Ο Ευκλείδης είναι επομένως πιο πρόσφατος από τους μαθητές του Πλάτωνα, αλλά παλαιότερος από τον Αρχιμήδη και τον Ερατοσθένη".

Αν γίνει δεκτή η χρονολογία που δίνει ο Πρόκλος, ο Ευκλείδης έζησε μεταξύ του Πλάτωνα και του Αρχιμήδη και ήταν σύγχρονος του Πτολεμαίου Α', γύρω στο 300 π.Χ..

Κανένα έγγραφο δεν διαψεύδει αυτές τις λίγες προτάσεις, ούτε τις επιβεβαιώνει. Η άμεση αναφορά του Ευκλείδη στα έργα του Αρχιμήδη προέρχεται από ένα χωρίο που θεωρείται αμφίβολο.

Ο Αρχιμήδης αναφέρεται σε ορισμένα αποτελέσματα των Στοιχείων και ένας όστρακος, που βρέθηκε στο νησί της Ελεφαντίνης και χρονολογείται στο III π.Χ., ασχολείται με σχήματα που μελετώνται στο βιβλίο XIII των Στοιχείων, όπως το δεκαγωνικό και το εικοσάεδρο, χωρίς όμως να αναπαράγει ακριβώς τις ευκλείδειες προτάσεις- θα μπορούσαν επομένως να προέρχονται από πηγές προγενέστερες του Ευκλείδη. Η κατά προσέγγιση χρονολογία του 300 π.Χ. θεωρείται, ωστόσο, συμβατή με την ανάλυση του περιεχομένου του έργου του Ευκλείδη και είναι αυτή που υιοθετείται από τους ιστορικούς των μαθηματικών.

Από την άλλη πλευρά, ένας υπαινιγμός από τον μαθηματικό του 4ου αιώνα μ.Χ. Πάπο της Αλεξάνδρειας υποδηλώνει ότι οι μαθητές του Ευκλείδη θα δίδασκαν στην Αλεξάνδρεια. Ορισμένοι συγγραφείς έχουν συνδέσει τον Ευκλείδη με το Μουσείο της Αλεξάνδρειας σε αυτή τη βάση, αλλά δεν εμφανίζεται σε κανένα επίσημο έγγραφο. Το επίθετο που συχνά συνδέεται με τον Ευκλείδη στην αρχαιότητα είναι απλώς ο Στοχαστής, ο συγγραφέας των Στοιχείων.

Αρκετά ανέκδοτα κυκλοφορούν για τον Ευκλείδη, αλλά καθώς εμφανίζονται και για άλλους μαθηματικούς, δεν θεωρούνται αληθινά: για παράδειγμα, το διάσημο ανέκδοτο, που εξηγείται από τον Πρόκλο, σύμφωνα με το οποίο ο Ευκλείδης θα είχε απαντήσει στον Πτολεμαίο - ο οποίος ήθελε έναν ευκολότερο τρόπο από εκείνους των Στοιχείων - ότι δεν υπάρχουν πραγματικοί τρόποι στη γεωμετρία- μια παραλλαγή του ίδιου ανέκδοτου αποδίδεται επίσης στον Μενέκμο και στον Μέγα Αλέξανδρο. Ομοίως, από την ύστερη αρχαιότητα, διάφορες λεπτομέρειες προστέθηκαν στις αφηγήσεις για τη ζωή του Ευκλείδη, χωρίς νέες πηγές, και συχνά με αντιφατικό τρόπο. Ορισμένοι συγγραφείς τοποθετούν τον Ευκλείδη γεννημένο στην Τύρο, άλλοι στη Γέλα- του αποδίδονται διάφορες γενεαλογίες, συγκεκριμένοι δάσκαλοι, διαφορετικές ημερομηνίες γέννησης και θανάτου, προκειμένου να τηρηθούν οι κανόνες του είδους ή να ευνοηθούν ορισμένες ερμηνείες. Στον Μεσαίωνα και στις αρχές της Αναγέννησης, ο μαθηματικός Ευκλείδης συγχέεται συχνά με έναν σύγχρονο φιλόσοφο του Πλάτωνα, τον Ευκλείδη των Μεγάρων.

Αναφορές έργων που αποδίδονται στον Ευκλείδη εμφανίζονται σε διάφορους συγγραφείς, ιδίως στη Μαθηματική Συλλογή του Πάππου (που συνήθως χρονολογείται στον 3ο ή 4ο αιώνα) και στο Σχολιασμό των Στοιχείων του Ευκλείδη από τον Πρόκλο. Μόνο ένα μέρος αυτών των έργων έχει διασωθεί μέχρι σήμερα.

Πέντε έργα έχουν φτάσει σε εμάς: Δεδομένα, Περί διαιρέσεων, Κατόπτρα, Εμφανίσεις του ουρανού και Οπτική. Από αραβικές πηγές αποδίδονται στον Ευκλείδη αρκετές πραγματείες για τη μηχανική. Το Περί βαρέων και ελαφρών περιέχει, σε εννέα ορισμούς και πέντε προτάσεις, τις αριστοτελικές έννοιες της κίνησης των σωμάτων και την έννοια της ειδικής βαρύτητας. Το Περί ισορροπίας πραγματεύεται τη θεωρία του μοχλού επίσης με αξιωματικό τρόπο, με έναν ορισμό, δύο αξιώματα και τέσσερις προτάσεις. Ένα τρίτο απόσπασμα, σχετικά με τους κύκλους που περιγράφονται από τα άκρα ενός κινητού μοχλού, περιέχει τέσσερις προτάσεις. Τα τρία αυτά έργα αλληλοσυμπληρώνονται με τέτοιο τρόπο ώστε έχει προταθεί ότι αποτελούν απομεινάρια μιας ενιαίας πραγματείας για τη μηχανική που έγραψε ο Ευκλείδης.

Τα στοιχεία

Τα Στοιχεία του είναι μια από τις πιο γνωστές επιστημονικές παραγωγές στον κόσμο και αποτελούσε μια συλλογή των γνώσεων που διδάσκονταν στον ακαδημαϊκό κόσμο της εποχής εκείνης. Τα Στοιχεία δεν ήταν, όπως μερικές φορές πιστεύεται, μια συλλογή όλων των γεωμετρικών γνώσεων, αλλά μάλλον ένα εισαγωγικό κείμενο που κάλυπτε όλα τα στοιχειώδη μαθηματικά, δηλαδή την αριθμητική, τη συνθετική γεωμετρία και την άλγεβρα.

Τα Στοιχεία χωρίζονται σε δεκατρία βιβλία ή κεφάλαια, από τα οποία τα μισά πρώτα αφορούν τη στοιχειώδη επίπεδη γεωμετρία, τα επόμενα τρία τη θεωρία των αριθμών, το βιβλίο Χ τα ασυμβίβαστα και τα τρία τελευταία κυρίως τη γεωμετρία των στερεών.

Στα βιβλία που είναι αφιερωμένα στη γεωμετρία, η μελέτη των ιδιοτήτων των ευθειών και των επιπέδων, των κύκλων και των σφαιρών, των τριγώνων και των κώνων κ.λπ., δηλαδή των κανονικών μορφών, παρουσιάζεται με τυπικό τρόπο, ξεκινώντας από πέντε μόνο αξιώματα. Πιθανώς κανένα από τα αποτελέσματα των Στοιχείων δεν αποδείχθηκε για πρώτη φορά από τον Ευκλείδη, αλλά η οργάνωση της ύλης και η έκθεσή της οφείλονται αναμφίβολα σε αυτόν. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν πολλές ενδείξεις ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποίησε προγενέστερα εγχειρίδια κατά τη συγγραφή των Στοιχείων, καθώς παρουσιάζει μεγάλο αριθμό ορισμών που δεν χρησιμοποιούνται, όπως αυτός του επιμήκους, του ρόμβου και του ρομβοειδούς. Τα θεωρήματα του Ευκλείδη είναι αυτά που μαθαίνονται γενικά στο σύγχρονο σχολείο. Για να αναφέρουμε μερικά από τα πιο γνωστά:

Τα βιβλία VII, VIII και IX των Στοιχείων μελετούν τη θεωρία της διαιρετότητας. Εξετάζεται η σχέση μεταξύ των τέλειων αριθμών και των πρώτων αριθμών Μερσέν (γνωστό ως θεώρημα Ευκλείδη-Έιλερ), το άπειρο των πρώτων αριθμών (θεώρημα του Ευκλείδη), το λήμμα του Ευκλείδη για την παραγοντοποίηση (το οποίο οδηγεί στο θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής για τη μοναδικότητα των παραγοντοποιήσεων των πρώτων αριθμών) και ο αλγόριθμος του Ευκλείδη για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών.

Η γεωμετρία του Ευκλείδη, εκτός από ένα ισχυρό εργαλείο για επαγωγικούς συλλογισμούς, υπήρξε εξαιρετικά χρήσιμη σε πολλούς τομείς της γνώσης- για παράδειγμα, στη φυσική, την αστρονομία, τη χημεία και διάφορους τομείς της μηχανικής. Σίγουρα είναι πολύ χρήσιμη στα μαθηματικά. Εμπνευσμένη από την αρμονία της παρουσίασης του Ευκλείδη, τον δεύτερο αιώνα διατυπώθηκε η Πτολεμαϊκή θεωρία του σύμπαντος, σύμφωνα με την οποία η Γη είναι το κέντρο του σύμπαντος και οι πλανήτες, η Σελήνη και ο Ήλιος περιστρέφονται γύρω από αυτήν σε τέλειες γραμμές, δηλαδή κύκλους και συνδυασμούς κύκλων. Ωστόσο, οι ιδέες του Ευκλείδη αποτελούν σημαντική αφαίρεση από την πραγματικότητα. Για παράδειγμα, υποθέτει ότι ένα σημείο δεν έχει μέγεθος- ότι μια γραμμή είναι ένα σύνολο σημείων που δεν έχει ούτε πλάτος ούτε πάχος, παρά μόνο μήκος- ότι μια επιφάνεια δεν έχει πάχος κ.ο.κ. Εφόσον ένα σημείο, σύμφωνα με τον Ευκλείδη, δεν έχει μέγεθος, του αποδίδεται διάσταση μηδέν. Μια γραμμή έχει μόνο μήκος, οπότε αποκτά διάσταση ίση με ένα. Μια επιφάνεια δεν έχει πάχος, δεν έχει ύψος, οπότε έχει διάσταση δύο: πλάτος και μήκος. Τέλος, ένα στερεό σώμα, όπως ένας κύβος, έχει διάσταση τρία: μήκος, πλάτος και ύψος. Ο Ευκλείδης προσπάθησε να συνοψίσει όλες τις μαθηματικές γνώσεις στο βιβλίο του Τα Στοιχεία. Η γεωμετρία του Ευκλείδη ήταν ένα έργο που παρέμεινε αναλλοίωτο μέχρι τον 19ο αιώνα.

Από τα αρχικά αξιώματα, μόνο το αξίωμα των παραλλήλων φαινόταν λιγότερο προφανές. Διάφοροι μαθηματικοί προσπάθησαν ανεπιτυχώς να απαλλαγούν από αυτό το αξίωμα προσπαθώντας να το συμπεράνουν από τα υπόλοιπα αξιώματα. Προσπάθησαν να το παρουσιάσουν ως θεώρημα, χωρίς να τα καταφέρουν.

Τέλος, ορισμένοι συγγραφείς δημιούργησαν νέες γεωμετρίες με βάση την ακύρωση ή την αντικατάσταση του αξιώματος των παραλλήλων, δημιουργώντας "μη ευκλείδειες γεωμετρίες". Το κύριο χαρακτηριστικό αυτών των γεωμετριών είναι ότι με την αλλαγή του αξιώματος των παραλλήλων, οι γωνίες ενός τριγώνου δεν αθροίζουν πλέον 180 μοίρες.

Τα Δεδομένα (Δεδομένα) είναι το μόνο άλλο έργο του Ευκλείδη που ασχολείται με τη γεωμετρία και του οποίου σώζεται ελληνική έκδοση (υπάρχει, για παράδειγμα, στο χειρόγραφο Χ που ανακάλυψε ο Peyrard). Περιγράφεται επίσης λεπτομερώς στο βιβλίο VII της Μαθηματικής Συλλογής του Πάπο, τον "Θησαυρό της Ανάλυσης", που συνδέεται στενά με τα τέσσερα πρώτα βιβλία των Στοιχείων. Ασχολείται με το είδος των πληροφοριών που δίνονται στα γεωμετρικά προβλήματα, καθώς και με τη φύση τους. Τα δεδομένα τοποθετούνται στο πλαίσιο της επίπεδης γεωμετρίας και θεωρείται από τους ιστορικούς ως συμπλήρωμα των Στοιχείων, σε μια μορφή πιο κατάλληλη για την ανάλυση προβλημάτων. Το έργο περιέχει 15 ορισμούς και εξηγεί τι σημαίνει ένα γεωμετρικό αντικείμενο, στη θέση, στο σχήμα, στο μέγεθος, και 94 θεωρήματα. Αυτά εξηγούν ότι, αν δοθούν ορισμένα στοιχεία ενός σχήματος, μπορούν να προσδιοριστούν άλλες σχέσεις ή στοιχεία.

Σχετικά με τις διαιρέσεις

Το έργο αυτό (υπάρχουν κομμάτια στα λατινικά (De divisionibus), αλλά κυρίως υπάρχει ένα χειρόγραφο στα αραβικά που ανακαλύφθηκε τον 19ο αιώνα, το οποίο περιέχει 36 προτάσεις, τέσσερις από τις οποίες είναι αποδεδειγμένες.

Ασχολείται με τη διαίρεση γεωμετρικών σχημάτων σε δύο ή περισσότερα ίσα μέρη ή σε μέρη συγκεκριμένων αναλογιών. Είναι παρόμοιο με ένα έργο του 3ου αιώνα μ.Χ. από τον Ήρωνα της Αλεξάνδρειας. Στο έργο αυτό προσπαθεί να κατασκευάσει ευθείες γραμμές που διαιρούν δεδομένα σχήματα σε δεδομένες αναλογίες και σχήματα. Για παράδειγμα, ζητείται, με δεδομένο ένα τρίγωνο και ένα σημείο μέσα στο τρίγωνο, να κατασκευαστεί μια ευθεία που να διέρχεται από το σημείο και να κόβει το τρίγωνο σε δύο σχήματα ίσου εμβαδού- ή, με δεδομένο έναν κύκλο, να κατασκευαστούν δύο παράλληλες ευθείες, ώστε το τμήμα του κύκλου που περιορίζουν να κάνει το ένα τρίτο του εμβαδού του κύκλου.

Σχετικά με τις πλάνες (Pseudaria)

Το Περί πλάνης (Περὶ Ψευδαρίων), ένα κείμενο για τα λάθη στη συλλογιστική, είναι ένα χαμένο έργο, γνωστό μόνο από την περιγραφή που δίνει ο Πρόκλος. Σύμφωνα με τον ίδιο, στόχος του έργου ήταν να συνηθίσουν οι αρχάριοι να εντοπίζουν τους ψευδείς συλλογισμούς, ιδίως εκείνους που μιμούνται τον επαγωγικό συλλογισμό και έχουν έτσι την εμφάνιση της αλήθειας. Έδωσε παραδείγματα παραλληλισμών.

Τέσσερα βιβλία για τις κωνικές τομές

Τέσσερα βιβλία για τις κωνικές τομές (Κωνικῶν Βιβλία) έχει πλέον χαθεί. Ήταν ένα έργο για τις κωνικές τομές το οποίο επεκτάθηκε από τον Απολλώνιο της Πέργης σε ένα διάσημο βιβλίο για το ίδιο θέμα. Είναι πιθανό ότι τα τέσσερα πρώτα βιβλία του έργου του Απολλώνιου προήλθαν απευθείας από τον Ευκλείδη. Σύμφωνα με τον Πάπο, "ο Απολλώνιος, αφού ολοκλήρωσε τα τέσσερα βιβλία του Ευκλείδη για τις κωνικές τομές και πρόσθεσε άλλα τέσσερα, άφησε οκτώ τόμους κωνικών τομών". Τα κωνικά του Απολλώνιου αντικατέστησαν γρήγορα το αρχικό έργο και μέχρι την εποχή του Πάπο, το έργο του Ευκλείδη είχε χαθεί.

Τρία νανοβιβλία

Τα Τρία βιβλία πορισμάτων (Πορισμάτων Βιβλία) μπορεί να αποτελούσαν επέκταση του έργου του για τις κωνικές τομές, αλλά το νόημα του τίτλου δεν είναι σαφές. Πρόκειται για ένα έργο που έχει χαθεί. Το έργο μνημονεύεται σε δύο χωρία του Πρόκλου και, κυρίως, αποτελεί αντικείμενο μιας εκτενούς παρουσίασης στο βιβλίο VII της Συλλογής του Πάππου, τον "Θησαυρό της ανάλυσης", ως ένα σημαντικό και εκτεταμένο παράδειγμα της αναλυτικής προσέγγισης. Η λέξη πορίσμα έχει διάφορες χρήσεις: σύμφωνα με τον Πάππο, θα μπορούσε να χαρακτηρίσει εδώ μια δήλωση ενδιάμεσου τύπου μεταξύ θεωρημάτων και προβλημάτων. Το έργο του Ευκλείδη θα περιείχε 171 τέτοιες δηλώσεις και 38 λήμματα. Ο Πάππος δίνει παραδείγματα, όπως: "αν, ξεκινώντας από δύο δεδομένα σημεία, χαραχθούν ευθείες που τέμνουν μια δεδομένη ευθεία, και αν μία από αυτές χαράξει ένα τμήμα σε μια δεδομένη ευθεία, η άλλη θα κάνει το ίδιο σε μια άλλη ευθεία, με μια σταθερή σχέση μεταξύ των δύο τμημάτων που κόβονται. Η ερμηνεία της ακριβούς έννοιας του τι είναι πορισμός, και τελικά η αποκατάσταση όλων ή μέρους των δηλώσεων του έργου του Ευκλείδη, από τις πληροφορίες που άφησε ο Παππούς, έχει απασχολήσει πολλούς μαθηματικούς: οι πιο γνωστές προσπάθειες είναι αυτές του Πιερ Φερμά τον 17ο αιώνα, του Ρομπέρ Σίμσον τον 18ο αιώνα, και κυρίως του Μισέλ Σασλς τον 19ο αιώνα. Παρόλο που η ανακατασκευή του Chasles δεν λαμβάνεται σοβαρά υπόψη ως τέτοια από τους σημερινούς ιστορικούς, έδωσε στον μαθηματικό την ευκαιρία να αναπτύξει την έννοια της αρμονικής σχέσης.

Δύο βιβλία για γεωμετρικούς τόπους

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β' αφορούσε γεωμετρικούς τόπους πάνω σε επιφάνειες ή γεωμετρικούς τόπους που ήταν οι ίδιοι επιφάνειες. Σε μια μεταγενέστερη ερμηνεία, διατυπώνεται η υπόθεση ότι το έργο θα μπορούσε να αφορά τετραγωνικές επιφάνειες. Πρόκειται επίσης για ένα χαμένο έργο δύο βιβλίων, το οποίο αναφέρεται στο θησαυροφυλάκιο της ανάλυσης του Πάππου. Οι ενδείξεις που δίνονται στον Πρόκλο ή στον Πάππο σχετικά με αυτούς τους τόπους του Ευκλείδη είναι διφορούμενες και το ακριβές ερώτημα που τίθεται στο έργο δεν είναι γνωστό. Στην παράδοση των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών, οι τόποι είναι σύνολα σημείων που επαληθεύουν μια δεδομένη ιδιότητα. Τα σύνολα αυτά είναι συχνά ευθείες γραμμές ή κωνικές τομές, αλλά μπορεί επίσης να είναι επίπεδες επιφάνειες, για παράδειγμα. Οι περισσότεροι ιστορικοί εκτιμούν ότι οι τόποι του Ευκλείδη θα μπορούσαν να είναι επιφάνειες περιστροφής, σφαίρες, κώνοι ή κύλινδροι.

Εμφανίσεις του ουρανού

Οι Εμφανίσεις του ουρανού ή Φαινόμενα (# Φαινόμενα) είναι μια πραγματεία για την αστρονομία της θέσης, η οποία σώζεται στα ελληνικά. Μοιάζει αρκετά με ένα έργο του Αυτόλυτου (Περί της εννοίας της σφαίρας) και πραγματεύεται την εφαρμογή της γεωμετρίας της σφαίρας στην αστρονομία και έχει διασωθεί στα ελληνικά, σε διάφορες χειρόγραφες εκδόσεις, η παλαιότερη από τις οποίες χρονολογείται από τον 10ο αιώνα. Το κείμενο αυτό εξηγεί αυτό που αποκαλείται "μικρή αστρονομία", σε αντίθεση με τα θέματα που πραγματεύεται η Μεγάλη Σύνθεση του Πτολεμαίου (η Αλμαγέστη). Περιέχει 18 προτάσεις και βρίσκεται κοντά στα σωζόμενα έργα για το ίδιο θέμα του Αυτόλυτου του Πιτανέ.

Οπτική

Η Οπτική (Ὀπτικά) είναι η παλαιότερη σωζόμενη ελληνική πραγματεία, σε διάφορες εκδόσεις, αφιερωμένη σε προβλήματα που σήμερα θα λέγαμε της προοπτικής και προφανώς προοριζόμενη για χρήση στην αστρονομία, έχει τη μορφή Στοιχείων: είναι μια συνέχεια 58 προτάσεων των οποίων η απόδειξη στηρίζεται σε ορισμούς και αξιώματα που αναφέρονται στην αρχή του κειμένου. Στους ορισμούς του, ο Ευκλείδης ακολουθεί την πλατωνική παράδοση, η οποία αναφέρει ότι η όραση προκαλείται από ακτίνες που προέρχονται από το μάτι. Ο Ευκλείδης περιγράφει το φαινομενικό μέγεθος ενός αντικειμένου σε σχέση με την απόστασή του από το μάτι και διερευνά τα φαινομενικά σχήματα των κυλίνδρων και των κώνων, όταν εξετάζονται από διαφορετικές οπτικές γωνίες.

Ο Ευκλείδης δείχνει ότι τα φαινομενικά μεγέθη ίσων αντικειμένων δεν είναι ανάλογα με την απόστασή τους από το μάτι μας (πρόταση 8). Εξηγεί, για παράδειγμα, την όρασή μας μιας σφαίρας (και άλλων απλών επιφανειών): το μάτι βλέπει μια μικρότερη επιφάνεια στη μέση της σφαίρας, μια ακόμη μικρότερη αναλογία καθώς η σφαίρα πλησιάζει, ακόμη και αν η επιφάνεια που βλέπουμε φαίνεται μεγαλύτερη και το περίγραμμα της οποίας βλέπουμε είναι ένας κύκλος. Αναφέρει επίσης λεπτομερώς, ανάλογα με τις θέσεις του ματιού και του αντικειμένου, με ποια μορφή μας φαίνεται ένας κύκλος. Η πραγματεία, ειδικότερα, έρχεται σε αντίθεση με μια άποψη που υποστηρίζεται σε ορισμένες σχολές σκέψης, σύμφωνα με την οποία το πραγματικό μέγεθος των αντικειμένων (ιδίως των ουράνιων σωμάτων) είναι το φαινομενικό τους μέγεθος, αυτό που φαίνεται.

Ο Papo θεώρησε τα αποτελέσματα αυτά σημαντικά για την αστρονομία και συμπεριέλαβε την Οπτική του Ευκλείδη, μαζί με τα Φαινόμενά του, σε μια συλλογή δευτερευόντων έργων που έπρεπε να μελετηθούν πριν από την Αλμαγέστη του Claudi Ptolemeu.

Πραγματεία για τη μουσική

Ο Πρόκλος αποδίδει στον Ευκλείδη μια πραγματεία για τη μουσική (Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική), η οποία, όπως και η αστρονομία, η θεωρητική μουσική, για παράδειγμα με τη μορφή μιας εφαρμοσμένης θεωρίας των αναλογιών, συγκαταλέγεται στις μαθηματικές επιστήμες. Δύο μικρά συγγράμματα έχουν διασωθεί στα ελληνικά και έχουν συμπεριληφθεί στις αρχαίες εκδόσεις του Ευκλείδη, αλλά η κρίση τους είναι αβέβαιη, όπως και η πιθανή σύνδεσή τους με τα Στοιχεία. Τα δύο γραπτά (ένα Τμήμα του Κανόνα για τα μουσικά διαστήματα και μια Αρμονική Εισαγωγή) θεωρούνται, από την άλλη πλευρά, αντιφατικά, και το δεύτερο, τουλάχιστον, θεωρείται σήμερα από τους μελετητές ότι προέρχεται από άλλον συγγραφέα.

Έργα που αποδίδονται λανθασμένα στον Ευκλείδη

Η Κατοπτρική (Κατοητρικά) ασχολείται με τη μαθηματική θεωρία των κατόπτρων, ιδίως με τις εικόνες που σχηματίζονται σε κοίλα επίπεδα και σφαιρικά κάτοπτρα. Η απόδοσή του στον Ευκλείδη είναι αμφίβολη- ο συγγραφέας του μπορεί να ήταν ο Θέων της Αλεξάνδρειας. Εμφανίζεται στο κείμενο του Ευκλείδη για την οπτική και στο σχόλιο του Πρόκλου. Θεωρείται πλέον χαμένο, και ειδικότερα, το Catoptricus, που δημοσιεύθηκε επί μακρόν ως συνέχεια της Οπτικής σε αρχαίες εκδόσεις, δεν αποδίδεται πλέον στον Ευκλείδη- θεωρείται μεταγενέστερη σύνταξη.

Ο Ευκλείδης αναφέρεται επίσης ως συγγραφέας αποσπασμάτων που σχετίζονται με τη μηχανική, συγκεκριμένα σε κείμενα για το μοχλό και τη ζυγαριά, σε ορισμένα λατινικά ή αραβικά χειρόγραφα. Η απόδοση θεωρείται πλέον αμφίβολη.

Πηγές

1. Ευκλείδης
2. Euclides
3. Dice que la relación de las tangentes de dos ángulos agudos es inferior a la relación de los ángulos,
4. Cette édition est accessible en ligne sur Internet Archive.
5. D’autres types de constructions apparaissent dans l’Antiquité, mais ne figurent pas dans les Éléments d’Euclide, comme la construction par « neusis » ou par inclinaison, un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données.
6. ^ Ball, pp. 50–62.
7. Natorp P. Diokleides 4 (нем.) // Kategorie:RE:Band V,1 — 1903.
8. Евклид. Большая российская энциклопедия.
9. Зубов, 2007, с. 510.
10. Евклид // Математический энциклопедический словарь. — М.: Сов. энциклопедия, 1988. — С. 214—215.