Sammanfattning

Pappus av Alexandria (ca 290 - ca 350 AD) var en av antikens sista stora grekiska matematiker; han är känd för sin Synagoge (Συναγωγή) eller Samling (ca 340) och för Pappus hexagonteorem inom projektiv geometri. Ingenting är känt om hans liv, annat än vad som står i hans egna skrifter: att han hade en son vid namn Hermodorus och var lärare i Alexandria.

Collection, hans mest kända verk, är ett kompendium i matematik i åtta volymer, varav merparten har bevarats. Det täcker ett brett spektrum av ämnen, inklusive geometri, rekreationsmatematik, fördubbling av kuben, polygoner och polyedrar.

Pappus var verksam under 400-talet e.Kr. Under en period av allmän stagnation inom matematiska studier framstår han som ett anmärkningsvärt undantag. "Hur högt han stod över sina samtida, hur lite han uppskattades eller förstods av dem, framgår av avsaknaden av referenser till honom hos andra grekiska författare, och av det faktum att hans arbete inte hade någon effekt när det gällde att stoppa den matematiska vetenskapens förfall", skriver Thomas Little Heath. "I detta avseende liknar Pappus öde på ett slående sätt Diophantus."

I sina bevarade skrifter ger Pappus ingen indikation på när de författare vars verk han använder sig av skrev, eller när han själv skrev (men se nedan). Om det inte fanns några andra datumuppgifter skulle man bara kunna veta att han var senare än Ptolemaios (död ca 168 e.Kr.), som han citerar, och tidigare än Proclus (född ca 411), som citerar honom.

I Suda från 900-talet anges att Pappus var i samma ålder som Theon av Alexandria, som var verksam under kejsar Theodosius I:s regeringstid (372-395). Ett annat datum anges i en marginalanteckning till ett manuskript från slutet av 900-talet (en kopia av en kronologisk tabell av samme Theon), där det bredvid en post om kejsar Diocletianus (regerade 284-305) anges att "vid den tiden skrev Pappus".

Ett verifierbart datum kommer dock från dateringen av en solförmörkelse som nämns av Pappus själv. I sin kommentar till Almagest beräknar han "platsen och tiden för den konjunktion som gav upphov till solförmörkelsen i Tybi år 1068 efter Nabonassar". Detta blir den 18 oktober 320, vilket innebär att Pappus måste ha varit verksam omkring 320.

Pappus stora verk, i åtta böcker och med titeln Synagoge eller Samling, har inte överlevt i fullständig form: den första boken är förlorad och resten har lidit avsevärd skada. I Suda räknas andra verk av Pappus upp: Χωρογραφία οἰκουμενική (Chorographia oikoumenike eller Beskrivning av den bebodda världen), en kommentar till de fyra böckerna i Ptolemaios Almagest, Ποταμοὺς τοὺς ἐν Λιβύῃ (Floderna i Libyen) och Ὀνειροκριτικά (Tolkningen av drömmar). Pappus nämner själv en annan av sina egna kommentarer till Ἀνάλημμα (Analemma) av Diodorus av Alexandria. Pappus skrev också kommentarer till Euklides Element (av vilka fragment finns bevarade i Proclus och Scholia, medan den om den tionde boken har hittats i ett arabiskt manuskript) och till Ptolemaios Ἁρμονικά (Harmonika).

Federico Commandino översatte Pappus samling till latin 1588. Den tyske klassicisten och matematikhistorikern Friedrich Hultsch (1833-1908) publicerade en slutgiltig presentation i tre volymer av Commandinos översättning med både den grekiska och den latinska versionen (Berlin, 1875-1878). Den belgiske matematikhistorikern Paul ver Eecke använde Hultschs arbete och var den förste att publicera en översättning av samlingen till ett modernt europeiskt språk; hans franska översättning i två volymer har titeln Pappus d'Alexandrie. La Collection Mathématique. (Paris och Brygge, 1933).

Pappus samling kännetecknas av att den innehåller en systematiskt ordnad redogörelse för de viktigaste resultat som hans föregångare har uppnått och, för det andra, noter som förklarar eller utvidgar tidigare upptäckter. Dessa upptäckter utgör i själva verket en text som Pappus utvidgar på ett diskursivt sätt. Heath ansåg att de systematiska introduktionerna till de olika böckerna var värdefulla, eftersom de tydligt anger en översikt över innehållet och den allmänna omfattningen av de ämnen som ska behandlas. Från dessa introduktioner kan man bedöma Pappus skrivstil, som är utmärkt och till och med elegant i det ögonblick han är fri från bojorna av matematiska formler och uttryck. Heath fann också att hans karakteristiska exakthet gjorde hans samling till "ett mycket beundransvärt substitut för texterna i de många värdefulla avhandlingar av tidigare matematiker som tiden har berövat oss".

De överlevande delarna av Collection kan sammanfattas enligt följande

Bok I

Bok I har gått helt förlorad. Vi kan bara förmoda att den förlorade bok I, liksom bok II, handlade om aritmetik, eftersom bok III tydligt introduceras som början på ett nytt ämne.

Bok II

Hela bok II (vars första del är förlorad, det existerande fragmentet börjar i mitten av den 14:e propositionen) diskuterar en multiplikationsmetod från en namnlös bok av Apollonius av Perga. De sista satserna handlar om att multiplicera de grekiska bokstävernas numeriska värden i två rader poesi, vilket ger två mycket stora tal som är ungefär lika med 2×1054 och 2×1038.

Bok III

Bok III innehåller geometriska problem, plana och fasta. Den kan delas in i fem avsnitt:

Bok IV

Av bok IV har titeln och förordet gått förlorade, så programmet måste hämtas från själva boken. I början finns den välkända generaliseringen av Euklides I.47 (Pappus areasats), sedan följer olika satser om cirkeln, som leder fram till problemet med konstruktionen av en cirkel som skall omskära tre givna cirklar, som berör varandra två och två. Detta och flera andra satser om kontakt, t.ex. fall av cirklar som berör varandra och är inskrivna i figuren som består av tre halvcirklar och kallas arbelos (Pappus övergår sedan till en undersökning av vissa egenskaper hos Arkimedes spiral, Nikomedes konchoide (redan nämnd i bok I som en metod att fördubbla kuben), och den kurva som troligen upptäcktes av Hippias från Elis omkring 420 f Kr, och är känd under namnet τετραγωνισμός eller quadratrix. I sats 30 beskrivs konstruktionen av en kurva med dubbel krökning som Pappus kallar helix på en sfär; den beskrivs av en punkt som rör sig likformigt längs en stor cirkelbåge, som i sin tur vrider sig likformigt runt sin diameter, så att punkten beskriver en kvadrant och den stora cirkeln ett fullständigt varv på samma gång. Arean av den yta som ingår mellan denna kurva och dess bas hittas - det första kända fallet av en kvadratur av en krökt yta. Resten av boken behandlar tredelningen av en vinkel och lösningen av mer allmänna problem av samma slag med hjälp av kvadratrix och spiral. I en lösning av det förstnämnda problemet används för första gången egenskapen hos en konisk figur (en hyperbel) med avseende på fokus och riktlinje.

Bok V

I bok V, efter ett intressant förord om regelbundna polygoner och med anmärkningar om den sexkantiga formen hos cellerna i bikakor, ägnar sig Pappus åt att jämföra arean hos olika plana figurer som alla har samma omkrets (efter Zenodorus avhandling i detta ämne), och volymen hos olika fasta figurer som alla har samma ytarea, och, slutligen, en jämförelse av Platons fem regelbundna fasta kroppar. För övrigt beskriver Pappus de tretton andra polyedrar som begränsas av liksidiga och likvinklade men inte liknande polygoner, som upptäcktes av Arkimedes, och finner, med en metod som påminner om Arkimedes, ytan och volymen hos en sfär. Enligt förordet är bok VI avsedd att lösa svårigheter som uppstår i de så kallade "mindre astronomiska verken" (Μικρὸς Ἀστρονοµούµενος), dvs. andra verk än Almagest. Därför kommenteras Theodosius Sphaerica, Autolycus Moving Sphere, Theodosius bok om dag och natt, Aristarchus avhandling om solens och månens storlek och avstånd samt Euklides Optics and Phaenomena.

Bok VI

Enligt förordet är bok VI avsedd att lösa svårigheter som uppstår i de så kallade "mindre astronomiska verken" (Μικρὸς Ἀστρονοµούµενος), dvs. andra verk än Almagest. Därför kommenteras Theodosius Sphaerica, Autolycus Moving Sphere, Theodosius bok om dag och natt, Aristarchus avhandling om solens och månens storlek och avstånd samt Euklides Optics and Phaenomena.

Bok VII

Sedan Michel Chasles citerade denna bok av Pappus i sin historik över geometriska metoder, har den blivit föremål för stor uppmärksamhet.

I förordet till bok VII förklaras begreppen analys och syntes samt skillnaden mellan teorem och problem. Pappus räknar sedan upp verk av Euklid, Apollonius, Aristaeus och Eratosthenes, trettiotre böcker totalt, vars innehåll han avser att ge, med de lemman som är nödvändiga för deras klargörande. Med omnämnandet av Euklides porismer har vi en redogörelse för porismens förhållande till teorem och problem. I samma förord ingår (a) det berömda problemet känt under Pappus namn, ofta formulerat på följande sätt: Efter att ha gett ett antal räta linjer, att finna den geometriska platsen för en punkt så att längderna på de vinkelräta linjerna på, eller (mer allmänt) de linjer som dras snett från den med givna lutningar mot, de givna linjerna uppfyller villkoret att produkten av vissa av dem kan stå i ett konstant förhållande till produkten av de återstående; (Pappus uttrycker det inte i denna form utan genom sammansättning av kvoter och säger att om den kvot ges som är sammansatt av kvoterna för par ett av en uppsättning och ett av en annan av de så dragna linjerna, och av kvoten för den udda, om någon, till en given rak linje, kommer punkten att ligga på en kurva som ges i position); (b) de satser som återupptäcktes av och namngavs efter Paul Guldin, men som verkar ha upptäckts av Pappus själv.

Bok VII innehåller också

Chasles citat av Pappus upprepades av Wilhelm Blaschke I Cambridge, England, gav John J. Milne läsarna fördelen av sin läsning av Pappus. År 1985 skrev Alexander Jones sin avhandling vid Brown University i ämnet. En reviderad version av hans översättning och kommentar publicerades av Springer-Verlag året därpå. Jones lyckas visa hur Pappus manipulerade den kompletta fyrhörningen, använde relationen mellan projektiva harmoniska konjugat och visade en medvetenhet om korsningsförhållanden mellan punkter och linjer. Dessutom avslöjas begreppen pol och polar som ett lemma i bok VII.

Bok VIII

Slutligen behandlar bok VIII huvudsakligen mekanik, tyngdpunktens egenskaper och vissa mekaniska krafter. Insprängt finns några påståenden om ren geometri. Proposition 14 visar hur man ritar en ellips genom fem givna punkter, och Prop. 15 ger en enkel konstruktion för axlarna i en ellips när ett par konjugerade diametrar är givna.

Pappus samling var praktiskt taget okänd för araberna och de medeltida européerna, men utövade stort inflytande på 1600-talets matematik efter att ha översatts till latin av Federico Commandino. Diophantus Arithmetica och Pappus samling var de två viktigaste källorna till Viètes Isagoge in artem analyticam (1591). Pappus problem och dess generalisering ledde Descartes till utvecklingen av analytisk geometri. Fermat utvecklade också sin version av analytisk geometri och sin metod för Maxima och Minima från Pappus sammanfattningar av Apollonius förlorade verk Plane Loci och On Determinate Section. Andra matematiker som påverkades av Pappus var Pacioli, da Vinci, Kepler, van Roomen, Pascal, Newton, Bernoulli, Euler, Gauss, Gergonne, Steiner och Poncelet.

Tillskrivning:

Källor

1. Pappos
2. Pappus of Alexandria
3. ^ a b Bird, John (14 July 2017). Engineering Mathematics. Taylor & Francis. p. 590. ISBN 978-1-317-20260-8.
4. ^ a b Pierre Dedron, J. Itard (1959) Mathematics And Mathematicians, Vol. 1, p. 149 (trans. Judith V. Field) (Transworld Student Library, 1974)
5. ^ a b c d e f g h i j k l m Heath 1911, p. 740.
6. ^ Rideout, Bronwyn (2008). Pappus Reborn: Pappus of Alexandria and the Changing Face of Analysis and Synthesis in Late Antiquity (Master's thesis). University of Canterbury Humanities. p. 14. doi:10.26021/3834. hdl:10092/2329.
7. ^ Smith, David Eugene (January 1934). "Review of Pappus d'Alexandrie. La Collection Mathématique. by Paul ver Eecke" (PDF). Bull. Am. Math. Soc. 40 (1): 11–12. doi:10.1090/S0002-9904-1934-05766-5.
8. a b  Heath, Thomas Little (1910-1911). «Encyclopædia Britannica». En Chisholm, Hugh, ed. Encyclopædia Britannica. A Dictionary of Arts, Sciences, Literature, and General information (en inglés) (11.ª edición). Encyclopædia Britannica, Inc.; actualmente en dominio público.
9. Whitehead, David (ed.). "Suda On Line - Pappos". Suda On Line y el Consorcio Stoa. Recuperado el 11 de julio de 2012. Alejandrino, filósofo, nacido en tiempos del emperador mayor Teodosio, cuando también floreció el filósofo Teón, el que escribió sobre el Canon de Ptolomeo. Sus libros son Descripción del mundo habitado; un comentario sobre los cuatro libros de la Gran Sintaxis de Ptolomeo; Los ríos de Libia; y La interpretación de los sueños.
10. 1 2 Pappus Alexandrinus // Catalogue of the Library of the Pontifical University of Saint Thomas Aquinas
11. Архив по истории математики Мактьютор — 1994.
12. 1 2 3 4 Боголюбов, 1983, с. 363.
13. 1 2 3 4 Рыбников, 1974, с. 93.
14. En grec ancien Συναγωγή (traduit en français sous le titre de Collection mathématique).
15. Viète, Fermat, Wallis, Simson, etc. Cf. à ce sujet Ver Eecke 1933, Introduction.