Sammanfattning

Constantin Carathéodory (13 september 1873-2 februari 1950) var en grekisk matematiker som tillbringade större delen av sin yrkeskarriär i Tyskland. Han gjorde betydande bidrag till reell och komplex analys, variationskalkyl och mätteori. Han skapade också en axiomatisk formulering av termodynamiken. Carathéodory anses vara en av de största matematikerna i sin tid och den mest kända grekiska matematikern sedan antiken.

Constantin Carathéodory föddes 1873 i Berlin av grekiska föräldrar och växte upp i Bryssel. Hans far Stephanos, som var advokat, var ottomansk ambassadör i Belgien, Sankt Petersburg och Berlin. Hans mor, Despina, född Petrokokkinos, var från ön Chios. Familjen Carathéodory, som ursprungligen kom från Bosnochori eller Vyssa, var väletablerad och respekterad i Konstantinopel, och dess medlemmar innehade många viktiga regeringsuppdrag.

Familjen Carathéodory tillbringade åren 1874-75 i Konstantinopel, där Konstantins farfars farfar bodde, medan hans far Stephanos var på permission. År 1875 åkte de sedan till Bryssel när Stephanos utsågs till ottomansk ambassadör där. I Bryssel föddes Konstantins lillasyster Julia. År 1879 var ett tragiskt år för familjen eftersom Konstantins farfars farfar avled det året, men mycket mer tragiskt var att Konstantins mor Despina dog av lunginflammation i Cannes. Konstantins mormor mors mormor tog på sig uppgiften att uppfostra Constantin och Julia i faderns hem i Belgien. De anställde ett tyskt hembiträde som lärde barnen att tala tyska. Constantin var redan vid denna tid tvåspråkig på franska och grekiska.

Constantin började sin skolgång i en privatskola i Vanderstock 1881. Han lämnade skolan efter två år och tillbringade sedan tid med sin far på besök i Berlin och tillbringade även vintrarna 1883-84 och 1884-85 på den italienska Rivieran. Tillbaka i Bryssel 1885 gick han i ett år på en gymnasieskola där han för första gången började intressera sig för matematik. År 1886 började han på gymnasiet Athénée Royal d'Ixelles och studerade där fram till sin examen 1891. Två gånger under sin tid vid denna skola vann Constantin ett pris som bästa matematikstudent i Belgien.

I detta skede började Carathéodory utbilda sig till militäringenjör. Han gick vid École Militaire de Belgique från oktober 1891 till maj 1895 och studerade även vid École d'Application från 1893 till 1896. År 1897 utbröt ett krig mellan det osmanska riket och Grekland. Detta försatte Carathéodory i en svår situation eftersom han ställde sig på grekernas sida, samtidigt som hans far tjänade det osmanska rikets regering. Eftersom han var utbildad ingenjör erbjöds han ett jobb i den brittiska kolonialmyndigheten. Detta jobb förde honom till Egypten där han arbetade med byggandet av Assiutdammen fram till april 1900. Under de perioder då byggnadsarbetet måste avbrytas på grund av översvämningar studerade han matematik med hjälp av några läroböcker som han hade med sig, till exempel Jordans Cours d'Analyse och Salmons text om koniska sektioners analytiska geometri. Han besökte också Cheopspyramiden och gjorde mätningar som han skrev ner och publicerade 1901. Samma år publicerade han också en bok om Egypten som innehöll en mängd information om landets historia och geografi.

Carathéodory studerade ingenjörsvetenskap i Belgien vid den kungliga militärakademin, där han ansågs vara en karismatisk och briljant student.

Universitetskarriär

Carathéodory hade omkring 20 doktorander, bland dem Hans Rademacher, känd för sitt arbete med analys och talteori, och Paul Finsler, känd för sin skapelse av Finslerrymden.

Akademiska kontakter i Tyskland

Carathéodory hade många kontakter i Tyskland, bland annat kända namn som: Hermann Minkowski, David Hilbert, Felix Klein, Albert Einstein, Edmund Landau, Hermann Amandus Schwarz, Lipót Fejér. Under den svåra perioden under andra världskriget var Perron och Tietze hans nära medarbetare vid den bayerska vetenskapsakademin.

Einstein, som då var medlem av den preussiska vetenskapsakademin i Berlin, arbetade med sin allmänna relativitetsteori när han kontaktade Carathéodory och bad om förtydliganden om Hamilton-Jacobi-ekvationen och kanoniska transformationer. Han ville se en tillfredsställande härledning av den förstnämnda och ursprunget till den sistnämnda. Einstein sade till Carathéodory att hans härledning var "vacker" och rekommenderade att den skulle publiceras i Annalen der Physik. Einstein använde den förstnämnda i en artikel från 1917 med titeln Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein (Om Sommerfelds och Epsteins kvantteorem). Carathéodory förklarade några grundläggande detaljer om de kanoniska transformationerna och hänvisade Einstein till E.T. Whittaker's Analytical Dynamics. Einstein försökte lösa problemet med "slutna tidslinjer" eller de geodetiska linjer som motsvarar ljusets och de fria partiklarnas slutna bana i ett statiskt universum, som han introducerade 1917.

Landau och Schwarz stimulerade hans intresse för studiet av komplex analys.

Akademiska kontakter i Grekland

Under sin vistelse i Tyskland upprätthöll Carathéodory många kontakter med den grekiska akademiska världen, om vilka detaljerad information finns i Georgiadous bok. Han var direkt involverad i omorganisationen av de grekiska universiteten. En särskilt nära vän och kollega i Aten var Nicolaos Kritikos som hade deltagit i hans föreläsningar i Göttingen, senare följde han med honom till Smyrna och blev sedan professor vid Atens tekniska högskola. Kritikos och Carathéodory hjälpte den grekiske topologen Christos Papakyriakopoulos att under mycket svåra omständigheter ta en doktorsexamen i topologi vid Atens universitet 1943. När Carathéodory undervisade vid Atens universitet hade han Evangelos Stamatis som student i grundutbildningen, som senare uppnådde stor betydelse som forskare i de gamla grekiska matematiska klassikerna.

Variationsberäkning

I sin doktorsavhandling visade Carathéodory hur man utvidgar lösningar till diskontinuerliga fall och studerade isoperimetriska problem.

Tidigare, mellan mitten av 1600-talet och mitten av 1800-talet, kunde Leonhard Euler, Adrien-Marie Legendre och Carl Gustav Jacob Jacobi fastställa nödvändiga men otillräckliga villkor för existensen av ett starkt relativt minimum. År 1879 lade Karl Weierstrass till ett fjärde som faktiskt garanterar att en sådan kvantitet existerar. Carathéodory konstruerade sin metod för att härleda tillräckliga villkor utifrån användningen av Hamilton-Jacobi-ekvationen för att konstruera ett fält av extremaler. Idéerna är nära besläktade med ljusutbredning inom optiken. Metoden blev känd som Carathéodory's metod för ekvivalenta variationsproblem eller den kungliga vägen till variationskalkylen. En viktig fördel med Carathéodorys arbete i detta ämne är att det belyser förhållandet mellan variationskalkylen och partiella differentialekvationer. Det gör det möjligt att snabbt och elegant härleda tillräcklighetsvillkor i variationskalkylen och leder direkt till Euler-Lagrange-ekvationen och Weierstrassvillkoret. Han publicerade sin Variationsrechnung und Partielle Differentialgleichungen Erster Ordnung (Variationskalkyl och partiella differentialekvationer av första ordningen) 1935.

På senare tid har Carathéodory's arbete med variationskalkylen och Hamilton-Jacobi-ekvationen tagits med i teorin om optimal kontroll och dynamisk programmering. Metoden kan också utvidgas till att omfatta multipla integraler.

Konvex geometri

Carathéodory-satsen i konvex geometri säger att om en punkt x {\displaystyle x} på R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} ligger i det konvexa höljet av en uppsättning P {\displaystyle P} , då x {\displaystyle x} kan skrivas som en konvex kombination av högst d + 1 {\displaystyle d+1} punkter i P {\displaystyle P} . Det finns nämligen en delmängd P ′ {\displaystyle P'} av P {\displaystyle P} bestående av d + 1 {\displaystyle d+1} eller färre punkter så att x {\displaystyle x} ligger i det konvexa höljet av P ′ {\displaystyle P'} . På motsvarande sätt, x {\displaystyle x} ligger i en r {\displaystyle r} -implex med hörn i P {\displaystyle P} , där r ≤ d {\displaystyle r\leq d} . Den minsta r {\displaystyle r} som gör det sista påståendet giltigt för varje x {\displaystyle x} i P:s konvexa skrov definieras som Carathéodory-talet för P {\displaystyle P} . Beroende på egenskaperna hos P {\displaystyle P} kan man få övre gränser som är lägre än de som ges av Carathéodory-satsen.

Han anses vara upphovsmannen till Carathéodory-konjekturen som hävdar att en sluten konvex yta har minst två navelpunkter. År 2021 var denna gissning fortfarande obekräftad trots att den har lockat till sig en stor mängd forskning.

Verklig analys

Han bevisade en existenssats för lösningen på vanliga differentialekvationer under milda regularitetsvillkor.

En annan av hans teorem om derivatan av en funktion i en punkt kan användas för att bevisa kedjeregeln och formeln för derivatan av omvända funktioner.

Komplex analys

Han utvidgade kraftigt teorin om konform omvandling genom att bevisa sitt teorem om utvidgningen av konform kartläggning till gränsen av Jordans domäner. När han studerade gränskorrespondensen skapade han teorin om primära ändar. Han visade ett elementärt bevis för Schwarz-lemmat.

Carathéodory var också intresserad av teorin om funktioner med flera komplexa variabler. I sina undersökningar i detta ämne sökte han efter analoger till klassiska resultat från fallet med en enda variabel. Han bevisade att en kula i C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} inte är holomorfiskt likvärdig med bidisc.

Mätningsteori

Han är känd för sin Carathéodory-utvidgningssats som är grundläggande för modern måttteori. Senare utvidgade Carathéodory teorin från mängder till Boolska algebraer.

Termodynamik

Termodynamiken hade varit ett ämne som Carathéodory varit mycket intresserad av sedan hans tid i Belgien. År 1909 publicerade han ett banbrytande arbete "Investigations on the Foundations of Thermodynamics" där han formulerade termodynamikens andra lag axiomatiskt, det vill säga utan användning av Carnotmotorer och kylskåp och endast genom matematiska resonemang. Detta är ännu en version av den andra lagen, vid sidan av Clausius, Kelvin och Planck. Carathéodorys version väckte uppmärksamhet hos några av tidens främsta fysiker, däribland Max Planck, Max Born och Arnold Sommerfeld. Enligt Bailyns översikt över termodynamiken kallas Carathéodorys tillvägagångssätt för "mekaniskt" snarare än "termodynamiskt". Max Born hyllade denna "första axiomatiskt rigida grund för termodynamiken" och han uttryckte sin entusiasm i sina brev till Einstein. Max Planck hade dock vissa betänkligheter i och med att han visserligen var imponerad av Carathéodorys matematiska skicklighet, men han accepterade inte att detta var en grundläggande formulering, med tanke på den andra lagens statistiska karaktär.

I sin teori förenklade han de grundläggande begreppen, till exempel är värme inte ett grundläggande begrepp utan ett härlett begrepp. Han formulerade den axiomatiska principen om irreversibilitet inom termodynamiken och förklarade att otillgängliga tillstånd är relaterade till förekomsten av entropi, där temperaturen är integrationsfunktionen. Termodynamikens andra lag uttrycktes genom följande axiom: "I närheten av varje utgångstillstånd finns det tillstånd som inte kan närmas godtyckligt nära genom adiabatiska förändringar av tillståndet". I detta sammanhang myntade han termen adiabatisk tillgänglighet.

Optik

Carathéodorys arbete inom optiken är nära förknippat med hans metod i variationskalkylen. År 1926 gav han ett strikt och allmänt bevis för att inget system av linser och speglar kan undvika aberration, med undantag för det triviala fallet med plana speglar. I sitt senare arbete gav han teorin om Schmidt-teleskopet. I sin Geometrische Optik (1937) visade Carathéodory att Huygens princip och Fermats princip är likvärdiga med utgångspunkt i den förstnämnda principen med hjälp av Cauchys teori om egenskaper. Han hävdade att en viktig fördel med hans tillvägagångssätt var att det täcker Henri Poincarés och Élie Cartans integralinvarianter och kompletterar Maluslagen. Han förklarade att Pierre de Fermat i sina optiska undersökningar tänkte sig en minimiprincip som liknar den som Hero av Alexandria angav för att studera reflektion.

Historiskt

Under andra världskriget redigerade Carathéodory två volymer av Eulers fullständiga verk som handlade om variationskalkylen och som lades fram för publicering 1946.

Vid den tiden var Aten det enda större utbildningscentrumet i det större området och hade begränsad kapacitet att tillgodose det växande utbildningsbehovet i den östra delen av Egeiska havet och på Balkan. Constantin Carathéodory, som då var professor vid universitetet i Berlin, föreslog att ett nytt universitet skulle inrättas - svårigheterna med att inrätta ett grekiskt universitet i Konstantinopel fick honom att överväga tre andra städer: Thessaloniki, Chios och Smyrna.

På inbjudan av den grekiske premiärministern Eleftherios Venizelos lade han den 20 oktober 1919 fram en plan för inrättandet av ett nytt universitet i Smyrna i Mindre Asien, som skulle heta Joniska universitetet i Smyrna. År 1920 utsågs Carathéodory till dekanus för universitetet och tog stor del i inrättandet av institutionen genom att resa runt i Europa för att köpa böcker och utrustning. Universitetet tog dock aldrig emot studenter på grund av kriget i Mindre Asien som slutade med den stora branden i Smyrna. Carathéodory lyckades rädda böcker från biblioteket och räddades först i sista stund av en journalist som tog honom i roddbåt till slagskeppet Naxos som stod redo. Carathéodory tog med sig en del av universitetsbiblioteket till Aten och stannade kvar i Aten och undervisade vid universitetet och den tekniska skolan fram till 1924.

1924 utnämndes Carathéodory till professor i matematik vid Münchens universitet, en position som han innehade fram till sin pensionering 1938. Han arbetade senare från den bayerska vetenskapsakademin fram till sin död 1950.

Det nya grekiska universitetet i det bredare området i sydöstra Medelhavsområdet, som Carathéodory ursprungligen hade tänkt sig, förverkligades slutligen genom inrättandet av Aristotelesuniversitetet i Thessaloniki 1925.

Carathéodory var en utmärkt språklärare, precis som många andra i sin familj. Grekiska och franska var hans första språk, och han behärskade tyskan med sådan perfektion att hans skrifter på tyska är stilistiska mästerverk. Carathéodory talade och skrev också engelska, italienska, turkiska och de gamla språken utan någon ansträngning. En sådan imponerande språklig arsenal gjorde det möjligt för honom att kommunicera och utbyta idéer direkt med andra matematiker under sina många resor och utvidgade hans kunskapsområden avsevärt.

Carathéodory var dessutom en uppskattad samtalspartner för sina professorskollegor vid filosofiska institutionen i München. Den välrenommerade tyska filologen och professorn i gamla språk, Kurt von Fritz, berömde Carathéodory med motiveringen att man av honom kunde lära sig oändligt mycket om det gamla och nya Grekland, det gamla grekiska språket och den grekiska matematiken. Von Fritz förde många filosofiska diskussioner med Carathéodory.

Matematikern skickade sin son Stephanos och dotter Despina till en tysk gymnasieskola, men de fick också dagligen extra undervisning i grekiskt språk och kultur av en grekisk präst, och hemma tillät han dem att endast tala grekiska.

Carathéodory var en begåvad talare och blev ofta inbjuden att hålla tal. År 1936 var det han som delade ut de första Fields-medaljerna någonsin vid mötet för den internationella matematikkongressen i Oslo, Norge.

Som ett erkännande av hans insatser gav universitetet i München 2002 Constantin-Carathéodory-föreläsningssalen namn åt en av de största föreläsningssalarna i det matematiska institutet.

I staden Nea Vyssa, Caratheodory's stamhem, finns ett unikt familjemuseum. Museet ligger på stadens centrala torg i närheten av dess kyrka och innehåller ett antal av Karatheodorys personliga föremål samt brev som han utbytte med Albert Einstein. Mer information finns på klubbens ursprungliga webbplats, http:

Samtidigt hade de grekiska myndigheterna länge haft för avsikt att skapa ett museum för att hedra Karatheodoris i Komotini, en större stad i den nordöstra grekiska regionen, mer än 200 km från hans hemstad ovan. Den 21 mars 2009 öppnade Karatheodoris-museet (Καραθεοδωρής) sina portar för allmänheten i Komotini.

Museets samordnare Athanasios Lipordezis (Αθανάσιος Λιπορδέζης) har noterat att museet är ett hem för matematikerns originalmanuskript på cirka 10 000 sidor, inklusive korrespondens med den tyske matematikern Arthur Rosenthal om algebraiseringen av mått. Vid utställningen kan besökarna också se böckerna " Gesammelte mathematische Schriften Band 1,2,3,4 ", "Mass und ihre Algebraiserung", " Reelle Functionen Band 1", " Zahlen

Arbetet med att utrusta museet med fler utställningar pågår.

Tidskriftsartiklar

En fullständig förteckning över Carathéodory's publikationer i tidskrifter finns i hans samlade verk (Ges. Math. Schr.). Noterbara publikationer är:

Källor

1. Constantin Carathéodory
2. Constantin Carathéodory
3. ^ "The Mathematics Genealogy Project - Constantin Carathéodory". Mathematics Genealogy Project. North Dakota State University Department of Mathematics. Archived from the original on 13 July 2018. Retrieved 27 August 2017.
4. ^ Hallett, Michael; Majer, Ulrich (2004). David Hilbert's Lectures on the Foundations of Geometry 1891–1902. Springer Science & Business Media. p. 11. ISBN 978-3-540-64373-9.
5. ^ Szpiro, George G. (2008). Poincare's Prize: The Hundred-Year Quest to Solve One of Math's Greatest Puzzles. Penguin. p. 104. ISBN 978-1-4406-3428-4.
6. ^ Brussells 1901 (Hayez);Ges. math. Schr. V. 273-281
7. 2,0 2,1 MacTutor History of Mathematics archive. Ανακτήθηκε στις 22  Αυγούστου 2017.
8. Holger Krahnke: Die Mitglieder der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen 1751–2001 (= Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen, Philologisch-Historische Klasse. Folge 3, Bd. 246 = Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften in Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Folge 3, Bd. 50). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2001, ISBN 3-525-82516-1, S. 56.
9. Grab von Carathéodory auf dem Münchner Waldfriedhof (Grabfeld 303, Lage48.1052211.49014, Bilder)
10. C. Carathéodory: Über die gegenseitige Beziehung der Ränder bei der konformen Abbildung des Inneren einer Jordanschen Kurve auf einen Kreis. In: Mathematische Annalen. Band 73, 1913, S. 305–320.
11. Ver Carathéodory's theorem
12. «Constantin Carathéodory-Hörsaal» (PDF). Consultado em 25 de junho de 2009. Arquivado do original (PDF) em 29 de setembro de 2007