Σύνοψη

Ο Αρχιμήδης των Συρακουσών (περ. 287 - περ. 212 π.Χ.) ήταν Έλληνας μαθηματικός, φυσικός, μηχανικός, αστρονόμος και εφευρέτης από την αρχαία πόλη των Συρακουσών στη Σικελία. Αν και είναι γνωστές λίγες λεπτομέρειες της ζωής του, θεωρείται ένας από τους κορυφαίους επιστήμονες της κλασικής αρχαιότητας. Ο Αρχιμήδης, που θεωρείται ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαίας ιστορίας και ένας από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών, πρόλαβε τον σύγχρονο λογισμό και την ανάλυση, εφαρμόζοντας την έννοια του απείρως μικρού και τη μέθοδο της εξάντλησης για την εξαγωγή και την αυστηρή απόδειξη μιας σειράς γεωμετρικών θεωρημάτων, μεταξύ των οποίων: το εμβαδόν ενός κύκλου, το εμβαδόν και ο όγκος μιας σφαίρας, το εμβαδόν μιας έλλειψης, το εμβαδόν κάτω από μια παραβολή, ο όγκος ενός τμήματος ενός παραβολοειδούς περιστροφής, ο όγκος ενός τμήματος ενός υπερβολοειδούς περιστροφής και το εμβαδόν μιας σπείρας.

Άλλα μαθηματικά επιτεύγματα του Αρχιμήδη περιλαμβάνουν την εξαγωγή μιας προσέγγισης του π, τον ορισμό και τη διερεύνηση της σπείρας που σήμερα φέρει το όνομά του και την επινόηση ενός συστήματος που χρησιμοποιεί τον πολλαπλασιασμό για την έκφραση πολύ μεγάλων αριθμών. Ήταν επίσης ένας από τους πρώτους που εφάρμοσε τα μαθηματικά σε φυσικά φαινόμενα, θεμελιώνοντας την υδροστατική και τη στατική. Τα επιτεύγματα του Αρχιμήδη σε αυτόν τον τομέα περιλαμβάνουν την απόδειξη της αρχής του μοχλού, την ευρεία χρήση της έννοιας του κέντρου βάρους και τη διατύπωση του νόμου της άντωσης. Του αποδίδεται επίσης ο σχεδιασμός καινοτόμων μηχανών, όπως η βιδωτή αντλία του, οι σύνθετες τροχαλίες και οι αμυντικές πολεμικές μηχανές για την προστασία της πατρίδας του, των Συρακουσών, από την εισβολή.

Ο Αρχιμήδης πέθανε κατά τη διάρκεια της πολιορκίας των Συρακουσών, όταν σκοτώθηκε από έναν Ρωμαίο στρατιώτη παρά τις διαταγές να μην τον πειράξουν. Ο Κικέρωνας περιγράφει την επίσκεψή του στον τάφο του Αρχιμήδη, ο οποίος στεγαζόταν από μια σφαίρα και έναν κύλινδρο, που ο Αρχιμήδης είχε ζητήσει να τοποθετηθούν στον τάφο του για να αντιπροσωπεύουν τις μαθηματικές του ανακαλύψεις.

Σε αντίθεση με τις εφευρέσεις του, τα μαθηματικά συγγράμματα του Αρχιμήδη ήταν ελάχιστα γνωστά στην αρχαιότητα. Μαθηματικοί από την Αλεξάνδρεια τον διάβαζαν και τον ανέφεραν, αλλά η πρώτη ολοκληρωμένη συλλογή δεν έγινε παρά γύρω στο 530 μ.Χ. από τον Ισίδωρο της Μιλήτου στη βυζαντινή Κωνσταντινούπολη, ενώ τα σχόλια των έργων του Αρχιμήδη από τον Ευτόκιο τον 6ο αιώνα τα άνοιξαν για πρώτη φορά σε ευρύτερο αναγνωστικό κοινό. Τα σχετικά λίγα αντίγραφα του γραπτού έργου του Αρχιμήδη που επιβίωσαν κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα αποτέλεσαν σημαντική πηγή ιδεών για τους επιστήμονες κατά την Αναγέννηση και πάλι τον 17ο αιώνα, ενώ η ανακάλυψη το 1906 των προηγουμένως χαμένων έργων του Αρχιμήδη στο παλίμψηστο του Αρχιμήδη έδωσε νέες πληροφορίες για το πώς ο ίδιος έβγαζε μαθηματικά αποτελέσματα.

Ο Αρχιμήδης γεννήθηκε γύρω στο 287 π.Χ. στο λιμάνι των Συρακουσών της Σικελίας, που εκείνη την εποχή ήταν αυτοδιοικούμενη αποικία της Magna Graecia. Η ημερομηνία γέννησης βασίζεται σε μια δήλωση του βυζαντινού Έλληνα ιστορικού Ιωάννη Τζέτζη ότι ο Αρχιμήδης έζησε 75 χρόνια πριν από τον θάνατό του το 212 π.Χ. Στο Sand-Reckoner, ο Αρχιμήδης δίνει το όνομα του πατέρα του ως Φειδίας, αστρονόμος για τον οποίο δεν είναι γνωστό τίποτε άλλο. Μια βιογραφία του Αρχιμήδη γράφτηκε από τον φίλο του Ηρακλείδη, αλλά το έργο αυτό έχει χαθεί, αφήνοντας ασαφείς τις λεπτομέρειες της ζωής του. Είναι άγνωστο, για παράδειγμα, αν παντρεύτηκε ποτέ ή αν απέκτησε παιδιά ή αν επισκέφθηκε ποτέ την Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου κατά τη διάρκεια της νεότητάς του. Από τα σωζόμενα γραπτά έργα του, είναι σαφές ότι διατηρούσε συλλογικές σχέσεις με λόγιους που εδρεύουν εκεί, μεταξύ των οποίων ο φίλος του Κόνων από τη Σάμο και ο επικεφαλής βιβλιοθηκάριος Ερατοσθένης από την Κυρήνη.

Οι συνήθεις εκδοχές της ζωής του Αρχιμήδη γράφτηκαν πολύ μετά το θάνατό του από Έλληνες και Ρωμαίους ιστορικούς. Η πρώτη αναφορά στον Αρχιμήδη γίνεται στις Ιστορίες του Πολύβιου (περίπου 200-118 π.Χ.), που γράφτηκαν περίπου 70 χρόνια μετά το θάνατό του. Ρίχνει λίγο φως στον Αρχιμήδη ως πρόσωπο και επικεντρώνεται στις πολεμικές μηχανές που λέγεται ότι κατασκεύασε για να υπερασπιστεί την πόλη από τους Ρωμαίους. Ο Πολύβιος σημειώνει πώς, κατά τη διάρκεια του Δεύτερου Πουνικού Πολέμου, οι Συρακούσες άλλαξαν υποταγή από τη Ρώμη στην Καρχηδόνα, με αποτέλεσμα μια στρατιωτική εκστρατεία για την κατάληψη της πόλης υπό τη διοίκηση του Μάρκου Κλαύδιου Μάρκελλου και του Άππιου Κλαύδιου Πούλχερ, η οποία διήρκεσε από το 213 έως το 212 π.Χ.. Σημειώνει ότι οι Ρωμαίοι υποτίμησαν τις άμυνες των Συρακουσών και αναφέρει διάφορες μηχανές που σχεδίασε ο Αρχιμήδης, όπως βελτιωμένους καταπέλτες, μηχανές που έμοιαζαν με γερανό και μπορούσαν να περιστρέφονται σε τόξο, καθώς και πετροπόλεμο. Αν και οι Ρωμαίοι κατέλαβαν τελικά την πόλη, υπέστησαν σημαντικές απώλειες λόγω της εφευρετικότητας του Αρχιμήδη.

Ο Κικέρωνας (106-43 π.Χ.) αναφέρει τον Αρχιμήδη σε κάποια από τα έργα του. Ενώ υπηρετούσε ως quaestor στη Σικελία, ο Κικέρωνας βρήκε τον τάφο του Αρχιμήδη, που υποτίθεται ότι ήταν κοντά στην πύλη Agrigentine στις Συρακούσες, σε παραμελημένη κατάσταση και κατάφυτος από θάμνους. Ο Κικέρωνας καθάρισε τον τάφο και μπόρεσε να δει το γλυπτό και να διαβάσει μερικούς από τους στίχους που είχαν προστεθεί ως επιγραφή. Ο τάφος έφερε ένα γλυπτό που απεικόνιζε την αγαπημένη μαθηματική απόδειξη του Αρχιμήδη, ότι ο όγκος και η επιφάνεια της σφαίρας είναι τα δύο τρίτα του όγκου και της επιφάνειας του κυλίνδρου, συμπεριλαμβανομένων των βάσεών του. Αναφέρει επίσης ότι ο Μάρκελλος έφερε στη Ρώμη δύο πλανητάρια που κατασκεύασε ο Αρχιμήδης. Ο Ρωμαίος ιστορικός Λίβιος (59 π.Χ.-17 μ.Χ.) αναδιηγείται την ιστορία του Πολύβιου για την κατάληψη των Συρακουσών και τον ρόλο του Αρχιμήδη σε αυτήν.

Ο Πλούταρχος (45-119 μ.Χ.) έγραψε στους Παράλληλους βίους του ότι ο Αρχιμήδης ήταν συγγενής του βασιλιά Ιέρωνα Β', του ηγεμόνα των Συρακουσών. Παρέχει επίσης τουλάχιστον δύο μαρτυρίες για το πώς πέθανε ο Αρχιμήδης μετά την κατάληψη της πόλης. Σύμφωνα με την πιο δημοφιλή εκδοχή, ο Αρχιμήδης συλλογιζόταν ένα μαθηματικό διάγραμμα όταν η πόλη καταλήφθηκε. Ένας Ρωμαίος στρατιώτης τον διέταξε να έρθει να συναντήσει τον Μάρκελλο, αλλά εκείνος αρνήθηκε, λέγοντας ότι έπρεπε να τελειώσει την εργασία του πάνω στο πρόβλημα. Αυτό εξόργισε τον στρατιώτη, ο οποίος σκότωσε τον Αρχιμήδη με το σπαθί του. Μια άλλη ιστορία θέλει τον Αρχιμήδη να μεταφέρει μαθηματικά όργανα πριν σκοτωθεί επειδή ένας στρατιώτης τα θεώρησε πολύτιμα αντικείμενα. Ο Μάρκελλος φέρεται να εξοργίστηκε με τον θάνατο του Αρχιμήδη, καθώς τον θεωρούσε πολύτιμο επιστημονικό κεφάλαιο (αποκάλεσε τον Αρχιμήδη "γεωμετρικό Μπριάρεο") και είχε διατάξει να μην του κάνουν κακό.

Τα τελευταία λόγια που αποδίδονται στον Αρχιμήδη είναι "Μην ενοχλείτε τους κύκλους μου" (Καθαρεύουσα ελληνικά, "μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε"), μια αναφορά στους κύκλους στο μαθηματικό σχέδιο που υποτίθεται ότι μελετούσε όταν τον ενόχλησε ο Ρωμαίος στρατιώτης. Δεν υπάρχουν αξιόπιστες αποδείξεις ότι ο Αρχιμήδης εκστόμισε αυτές τις λέξεις και δεν εμφανίζονται στην αφήγηση του Πλούταρχου. Ένα παρόμοιο απόσπασμα συναντάται στο έργο του Valerius Maximus (fl. 30 μ.Χ.), ο οποίος έγραψε στο βιβλίο του Memorable Doings and Sayings, "... sed protecto manibus puluere 'noli' inquit, 'obsecro, istum disturbare'" ("... αλλά προστατεύοντας τη σκόνη με τα χέρια του, είπε: 'Σε ικετεύω, μην το διαταράξεις αυτό'").

Αρχή του Αρχιμήδη

Το πιο γνωστό ανέκδοτο για τον Αρχιμήδη λέει πώς εφηύρε μια μέθοδο για τον προσδιορισμό του όγκου ενός αντικειμένου με ακανόνιστο σχήμα. Σύμφωνα με τον Βιτρούβιο, ένα αναθηματικό στεφάνι για έναν ναό είχε κατασκευαστεί για τον βασιλιά Ιέρωνα Β' των Συρακουσών, ο οποίος είχε προμηθεύσει τον καθαρό χρυσό που έπρεπε να χρησιμοποιηθεί- ζητήθηκε από τον Αρχιμήδη να προσδιορίσει αν ο ανέντιμος χρυσοχόος είχε αντικαταστήσει λίγο ασήμι. Ο Αρχιμήδης έπρεπε να λύσει το πρόβλημα χωρίς να καταστρέψει το στέμμα, οπότε δεν μπορούσε να το λιώσει σε σώμα κανονικού σχήματος για να υπολογίσει την πυκνότητά του.

Σύμφωνα με την αφήγηση του Βιτρούβιου, ο Αρχιμήδης παρατήρησε ενώ έκανε μπάνιο ότι η στάθμη του νερού στην μπανιέρα ανέβαινε καθώς έμπαινε μέσα και συνειδητοποίησε ότι αυτό το φαινόμενο μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του όγκου του στέμματος. Για πρακτικούς σκοπούς το νερό είναι ασυμπίεστο, οπότε το βυθισμένο στέμμα θα εκτόπιζε ποσότητα νερού ίση με τον ίδιο του τον όγκο. Διαιρώντας τη μάζα του στέμματος με τον όγκο του νερού που εκτοπίστηκε, θα μπορούσε να προκύψει η πυκνότητα του στέμματος. Η πυκνότητα αυτή θα ήταν χαμηλότερη από εκείνη του χρυσού, αν είχαν προστεθεί φθηνότερα και λιγότερο πυκνά μέταλλα. Ο Αρχιμήδης βγήκε τότε στους δρόμους γυμνός, τόσο ενθουσιασμένος από την ανακάλυψή του που είχε ξεχάσει να ντυθεί, φωνάζοντας "Εύρηκα!" (ελληνικά: "εὕρηκα, heúrēka!", lit.  'Βρήκα' Η δοκιμή στο στέμμα διεξήχθη με επιτυχία, αποδεικνύοντας ότι όντως είχε αναμιχθεί άργυρος.

Η ιστορία του χρυσού στέμματος δεν εμφανίζεται πουθενά στα γνωστά έργα του Αρχιμήδη. Η πρακτικότητα της μεθόδου που περιγράφει έχει αμφισβητηθεί λόγω της ακραίας ακρίβειας που θα απαιτούνταν κατά τη μέτρηση της μετατόπισης του νερού. Ο Αρχιμήδης μπορεί αντ' αυτού να αναζήτησε μια λύση που να εφάρμοζε την αρχή που είναι γνωστή στην υδροστατική ως αρχή του Αρχιμήδη, την οποία περιγράφει στην πραγματεία του Περί πλωτών σωμάτων. Η αρχή αυτή δηλώνει ότι ένα σώμα βυθισμένο σε ένα υγρό υφίσταται μια πλευστική δύναμη ίση με το βάρος του υγρού που εκτοπίζει. Χρησιμοποιώντας αυτή την αρχή, θα ήταν δυνατή η σύγκριση της πυκνότητας του στέμματος με εκείνη του καθαρού χρυσού, εξισορροπώντας το στέμμα σε μια ζυγαριά με ένα δείγμα αναφοράς από καθαρό χρυσό του ίδιου βάρους, και στη συνέχεια βυθίζοντας τη συσκευή στο νερό. Η διαφορά στην πυκνότητα μεταξύ των δύο δειγμάτων θα προκαλούσε την ανάλογη κλίση της ζυγαριάς. Ο Γαλιλαίος Γαλιλέι, ο οποίος το 1586 εφηύρε μια υδροστατική ζυγαριά για τη ζύγιση μετάλλων στον αέρα και στο νερό εμπνευσμένος από το έργο του Αρχιμήδη, θεώρησε ότι "είναι πιθανό η μέθοδος αυτή να είναι η ίδια που ακολούθησε ο Αρχιμήδης, αφού, εκτός από πολύ ακριβής, βασίζεται σε επιδείξεις που βρήκε ο ίδιος ο Αρχιμήδης".

Βίδα του Αρχιμήδη

Ένα μεγάλο μέρος του έργου του Αρχιμήδη στον τομέα της μηχανικής προέκυψε πιθανότατα από την ικανοποίηση των αναγκών της πόλης του, των Συρακουσών. Ο Έλληνας συγγραφέας Αθηναίος ο Ναυκράτης περιέγραψε πώς ο βασιλιάς Ιέρωνας Β' ανέθεσε στον Αρχιμήδη να σχεδιάσει ένα τεράστιο πλοίο, το Συρακούσιο, το οποίο θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για πολυτελή ταξίδια, για τη μεταφορά προμηθειών και ως πολεμικό πλοίο. Τα Συρακούσια λέγεται ότι ήταν το μεγαλύτερο πλοίο που κατασκευάστηκε στην κλασική αρχαιότητα. Σύμφωνα με τον Αθηναίο, ήταν ικανό να μεταφέρει 600 άτομα και μεταξύ των εγκαταστάσεών του περιλάμβανε διακοσμήσεις κήπων, γυμναστήριο και ναό αφιερωμένο στη θεά Αφροδίτη. Δεδομένου ότι ένα πλοίο αυτού του μεγέθους θα διέρρεε σημαντική ποσότητα νερού μέσα από το κύτος, ο κοχλίας του Αρχιμήδη φέρεται να αναπτύχθηκε προκειμένου να απομακρύνει το νερό των υδροσυλλεκτών. Η μηχανή του Αρχιμήδη ήταν μια συσκευή με περιστρεφόμενη λεπίδα σε σχήμα κοχλία μέσα σε κύλινδρο. Γυριζόταν με το χέρι και μπορούσε επίσης να χρησιμοποιηθεί για τη μεταφορά νερού από ένα χαμηλό υδάτινο σώμα σε αρδευτικά κανάλια. Ο κοχλίας του Αρχιμήδη χρησιμοποιείται ακόμη και σήμερα για την άντληση υγρών και κοκκωδών στερεών, όπως ο άνθρακας και τα σιτηρά. Ο κοχλίας του Αρχιμήδη περιγράφηκε στη ρωμαϊκή εποχή από τον Βιτρούβιο και μπορεί να αποτελούσε βελτίωση μιας βιδωτής αντλίας που χρησιμοποιήθηκε για την άρδευση των κρεμαστών κήπων της Βαβυλώνας. Το πρώτο παγκοσμίως ποντοπόρο ατμόπλοιο με βιδωτή έλικα ήταν το SS Archimedes, το οποίο δρομολογήθηκε το 1839 και πήρε το όνομά του προς τιμήν του Αρχιμήδη και του έργου του πάνω στον κοχλία.

Νύχι του Αρχιμήδη

Το Νύχι του Αρχιμήδη είναι ένα όπλο που λέγεται ότι σχεδίασε για να υπερασπιστεί την πόλη των Συρακουσών. Γνωστό και ως "ο κλυδωνιστής του πλοίου", το νύχι αποτελούνταν από έναν βραχίονα που έμοιαζε με γερανό και από τον οποίο κρεμόταν ένας μεγάλος μεταλλικός γάντζος. Όταν το νύχι έπεφτε πάνω σε ένα επιτιθέμενο πλοίο, ο βραχίονας ταλαντευόταν προς τα πάνω, ανασηκώνοντας το πλοίο από το νερό και ενδεχομένως βυθίζοντάς το. Υπήρξαν σύγχρονα πειράματα για να ελεγχθεί η σκοπιμότητα του νυχιού και το 2005 ένα τηλεοπτικό ντοκιμαντέρ με τίτλο "Υπερόπλα του αρχαίου κόσμου" κατασκεύασε μια έκδοση του νυχιού και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ήταν μια λειτουργική συσκευή.

Ακτίνα θερμότητας

Ο Αρχιμήδης μπορεί να χρησιμοποίησε καθρέφτες που ενεργούσαν συλλογικά ως παραβολικός ανακλαστήρας για να κάψει τα πλοία που επιτίθονταν στις Συρακούσες. Ο συγγραφέας του 2ου αιώνα Λουκιανός έγραψε ότι κατά τη διάρκεια της πολιορκίας των Συρακουσών (περίπου 214-212 π.Χ.), ο Αρχιμήδης κατέστρεψε τα εχθρικά πλοία με φωτιά. Αιώνες αργότερα, ο Ανθέμιος από τις Τράλλεις αναφέρει τους καυστήρες ως όπλο του Αρχιμήδη. Η συσκευή, που μερικές φορές αποκαλείται "θερμική ακτίνα του Αρχιμήδη", χρησιμοποιήθηκε για να εστιάζει το ηλιακό φως σε πλοία που πλησίαζαν, προκαλώντας τους να πάρουν φωτιά. Στη σύγχρονη εποχή, έχουν κατασκευαστεί παρόμοιες συσκευές και μπορεί να αναφέρονται ως ηλιοστάτης ή ηλιακός κλίβανος.

Αυτό το υποτιθέμενο όπλο αποτελεί αντικείμενο μιας διαρκούς συζήτησης σχετικά με την αξιοπιστία του από την Αναγέννηση. Ο Ρενέ Ντεκάρτ το απέρριψε ως ψευδές, ενώ σύγχρονοι ερευνητές προσπάθησαν να αναδημιουργήσουν το φαινόμενο χρησιμοποιώντας μόνο τα μέσα που θα ήταν διαθέσιμα στον Αρχιμήδη. Έχει προταθεί ότι θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί μια μεγάλη σειρά από εξαιρετικά γυαλισμένες χάλκινες ή χάλκινες ασπίδες που λειτουργούσαν ως καθρέφτες για να εστιάσουν το ηλιακό φως σε ένα πλοίο.

Μοχλός

Αν και ο Αρχιμήδης δεν εφηύρε τον μοχλό, έδωσε μια μαθηματική απόδειξη της σχετικής αρχής στο έργο του Περί ισορροπίας των επιπέδων. Παλαιότερες περιγραφές του μοχλού συναντώνται στην Περιπατητική σχολή των οπαδών του Αριστοτέλη, και μερικές φορές αποδίδονται στον Αρχύτα. Υπάρχουν διάφορες, συχνά αντικρουόμενες, αναφορές σχετικά με τα κατορθώματα του Αρχιμήδη που χρησιμοποίησε τον μοχλό για να ανυψώσει πολύ βαριά αντικείμενα. Ο Πλούταρχος περιγράφει πώς ο Αρχιμήδης σχεδίασε συστήματα τροχαλιών με μπλοκ και τάκους, επιτρέποντας στους ναυτικούς να χρησιμοποιούν την αρχή της μόχλευσης για να σηκώνουν αντικείμενα που διαφορετικά θα ήταν πολύ βαριά για να τα μετακινήσουν. Σύμφωνα με τον Πάππο της Αλεξάνδρειας, η εργασία του Αρχιμήδη πάνω στους μοχλούς τον έκανε να παρατηρήσει: "Δώστε μου ένα μέρος να σταθώ και θα κινήσω τη γη" (ελληνικά: δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω). Ο Ολυμπιόδωρος αργότερα απέδωσε τον ίδιο καυχησιασμό στην εφεύρεση του Αρχιμήδη για το βαρούλκο, ένα είδος βαρούλκου, και όχι για το μοχλό.

Στον Αρχιμήδη αποδίδεται επίσης η βελτίωση της ισχύος και της ακρίβειας του καταπέλτη και η εφεύρεση του χιλιομετρητή κατά τη διάρκεια του Πρώτου Πουνικού Πολέμου. Το οδόμετρο περιγράφηκε ως ένα κάρο με μηχανισμό γραναζιών που έριχνε μια μπάλα σε ένα δοχείο μετά από κάθε διανυόμενο μίλι.

Αστρονομικά όργανα

Ο Αρχιμήδης συζητά τις αστρονομικές μετρήσεις της Γης, του Ήλιου και της Σελήνης, καθώς και το ηλιοκεντρικό μοντέλο του Αρίσταρχου για το σύμπαν, στο Sand-Reckoner. Παρά την έλλειψη τριγωνομετρίας και πίνακα χορδών, ο Αρχιμήδης περιγράφει τη διαδικασία και το όργανο που χρησιμοποιείται για τη διενέργεια παρατηρήσεων (μια ευθεία ράβδος με μανταλάκια ή αυλακώσεις), εφαρμόζει διορθωτικούς συντελεστές σε αυτές τις μετρήσεις και τέλος δίνει το αποτέλεσμα με τη μορφή ανώτερων και κατώτερων ορίων για να ληφθούν υπόψη τα σφάλματα παρατήρησης. Ο Πτολεμαίος, παραθέτοντας τον Ίππαρχο, παραπέμπει επίσης στις παρατηρήσεις του Αρχιμήδη για το ηλιοστάσιο στην Αλμαγέστη. Αυτό θα καθιστούσε τον Αρχιμήδη τον πρώτο γνωστό Έλληνα που κατέγραψε πολλαπλές ημερομηνίες και ώρες ηλιοστασίου σε διαδοχικά έτη.

Ο Κικέρωνας αναφέρει εν συντομία τον Αρχιμήδη στο διάλογό του De re publica, ο οποίος απεικονίζει μια φανταστική συζήτηση που λαμβάνει χώρα το 129 π.Χ.. Μετά την κατάληψη των Συρακουσών γύρω στο 212 π.Χ., ο στρατηγός Μάρκος Κλαύδιος Μάρκελλος λέγεται ότι πήρε στη Ρώμη δύο μηχανισμούς, που κατασκεύασε ο Αρχιμήδης και χρησιμοποιούσε ως βοηθήματα στην αστρονομία, οι οποίοι έδειχναν την κίνηση του Ήλιου, της Σελήνης και των πέντε πλανητών. Ο Κικέρωνας αναφέρει παρόμοιους μηχανισμούς που σχεδίασαν ο Θαλής της Μιλήτου και ο Εύδοξος της Κνίδου. Ο διάλογος αναφέρει ότι ο Μάρκελλος κράτησε τη μία από τις συσκευές ως το μοναδικό προσωπικό του λάφυρο από τις Συρακούσες και δώρισε την άλλη στο Ναό της Αρετής στη Ρώμη. Ο μηχανισμός του Μάρκελλου επιδείχθηκε, σύμφωνα με τον Κικέρωνα, από τον Γάιο Σουλπίκιο Γάλλο στον Λούκιο Φούριο Φίλο, ο οποίος τον περιέγραψε ως εξής:

Πρόκειται για την περιγραφή ενός πλανητάριου ή οργανοπήγματος. Ο Πάππος της Αλεξάνδρειας ανέφερε ότι ο Αρχιμήδης είχε γράψει ένα χειρόγραφο (που σήμερα έχει χαθεί) σχετικά με την κατασκευή αυτών των μηχανισμών με τίτλο Περί σφαιροποιίας. Η σύγχρονη έρευνα στον τομέα αυτό έχει επικεντρωθεί στον μηχανισμό των Αντικυθήρων, μια άλλη συσκευή που κατασκευάστηκε γύρω στο 100 π.Χ. και η οποία πιθανώς σχεδιάστηκε για τον ίδιο σκοπό. Η κατασκευή μηχανισμών αυτού του είδους θα απαιτούσε εξελιγμένη γνώση της διαφορικής οδοντωτής μετάδοσης. Κάποτε πίστευαν ότι αυτό ήταν πέρα από το φάσμα της τεχνολογίας που ήταν διαθέσιμη στην αρχαιότητα, αλλά η ανακάλυψη του μηχανισμού των Αντικυθήρων το 1902 επιβεβαίωσε ότι συσκευές αυτού του είδους ήταν γνωστές στους αρχαίους Έλληνες.

Ενώ συχνά θεωρείται ως σχεδιαστής μηχανικών συσκευών, ο Αρχιμήδης συνέβαλε επίσης στον τομέα των μαθηματικών. Ο Πλούταρχος έγραψε ότι ο Αρχιμήδης "τοποθέτησε όλη τη στοργή και τη φιλοδοξία του σε εκείνες τις καθαρότερες θεωρίες όπου δεν μπορεί να υπάρχει καμία αναφορά στις χυδαίες ανάγκες της ζωής", αν και ορισμένοι μελετητές πιστεύουν ότι αυτό μπορεί να είναι λάθος χαρακτηρισμός.

Μέθοδος εξάντλησης

Ο Αρχιμήδης μπόρεσε να χρησιμοποιήσει τα αδιαίρετα (πρόδρομος των απειροστών) με τρόπο παρόμοιο με τον σύγχρονο ολοκληρωτικό λογισμό. Μέσω της απόδειξης μέσω αντίφασης (reductio ad absurdum), μπορούσε να δώσει απαντήσεις σε προβλήματα με αυθαίρετο βαθμό ακρίβειας, προσδιορίζοντας παράλληλα τα όρια εντός των οποίων βρισκόταν η απάντηση. Αυτή η τεχνική είναι γνωστή ως μέθοδος της εξάντλησης και την εφάρμοσε για να προσεγγίσει τα εμβαδά των σχημάτων και την τιμή του π.

Στο Measurement of a Circle, το έκανε αυτό σχεδιάζοντας ένα μεγαλύτερο κανονικό εξάγωνο έξω από έναν κύκλο και στη συνέχεια ένα μικρότερο κανονικό εξάγωνο μέσα στον κύκλο, και διπλασιάζοντας σταδιακά τον αριθμό των πλευρών κάθε κανονικού πολυγώνου, υπολογίζοντας το μήκος μιας πλευράς κάθε πολυγώνου σε κάθε βήμα. Καθώς αυξάνεται ο αριθμός των πλευρών, γίνεται μια πιο ακριβής προσέγγιση ενός κύκλου. Μετά από τέσσερα τέτοια βήματα, όταν τα πολύγωνα είχαν 96 πλευρές το καθένα, μπόρεσε να προσδιορίσει ότι η τιμή του π βρισκόταν μεταξύ 31

Στο βιβλίο Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου, ο Αρχιμήδης υποστηρίζει ότι οποιοδήποτε μέγεθος όταν προστεθεί στον εαυτό του αρκετές φορές θα υπερβεί οποιοδήποτε δεδομένο μέγεθος. Σήμερα αυτό είναι γνωστό ως η Αρχιμήδειος ιδιότητα των πραγματικών αριθμών.

Ο Αρχιμήδης δίνει την τιμή της τετραγωνικής ρίζας του 3 που βρίσκεται μεταξύ 265

Η άπειρη σειρά

Στην τετραγωνική της παραβολής, ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι το εμβαδόν που περικλείεται από μια παραβολή και μια ευθεία είναι 4

Αν ο πρώτος όρος αυτής της σειράς είναι το εμβαδόν του τριγώνου, τότε ο δεύτερος είναι το άθροισμα των εμβαδών δύο τριγώνων των οποίων οι βάσεις είναι οι δύο μικρότερες δευτερεύουσες ευθείες και των οποίων η τρίτη κορυφή είναι εκεί όπου η ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα της παραβολής και περνά από το μέσο της βάσης τέμνει την παραβολή, κ.ο.κ. Αυτή η απόδειξη χρησιμοποιεί μια παραλλαγή της σειράς 1

Μυριάδες μυριάδων

Στο βιβλίο του The Sand Reckoner, ο Αρχιμήδης θέλησε να υπολογίσει τον αριθμό των κόκκων άμμου που θα μπορούσε να περιέχει το σύμπαν. Με τον τρόπο αυτό, αμφισβήτησε την άποψη ότι ο αριθμός των κόκκων άμμου ήταν πολύ μεγάλος για να μετρηθεί. Έγραψε:

Υπάρχουν μερικοί, βασιλιά Γκέλο (και με τον όρο άμμος δεν εννοώ μόνο αυτή που υπάρχει γύρω από τις Συρακούσες και την υπόλοιπη Σικελία, αλλά και αυτή που συναντάται σε κάθε περιοχή, κατοικημένη ή ακατοίκητη.

Για να λύσει το πρόβλημα, ο Αρχιμήδης επινόησε ένα σύστημα μέτρησης βασισμένο στη μυριάδα. Η ίδια η λέξη προέρχεται από το ελληνικό μυριάς, murias, για τον αριθμό 10.000. Πρότεινε ένα σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιούσε δυνάμεις της μυριάδας των μυριάδων (100 εκατομμύρια, δηλαδή 10.000 x 10.000) και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο αριθμός των κόκκων άμμου που απαιτούνται για να γεμίσει το σύμπαν θα ήταν 8 βιγιντίλιαν ή 8×1063.

Τα έργα του Αρχιμήδη ήταν γραμμένα στα Δωρικά Ελληνικά, τη διάλεκτο των αρχαίων Συρακουσών. Το γραπτό έργο του Αρχιμήδη δεν έχει διασωθεί τόσο καλά όσο αυτό του Ευκλείδη, και επτά από τις πραγματείες του είναι γνωστό ότι υπήρχαν μόνο μέσω αναφορών που έγιναν σε αυτές από άλλους συγγραφείς. Ο Πάππος της Αλεξάνδρειας αναφέρει το Περί σφαιροποιίας και ένα άλλο έργο για τα πολύεδρα, ενώ ο Θέων της Αλεξάνδρειας παραθέτει μια παρατήρηση για τη διάθλαση από τα χαμένα πλέον Catoptrica.

Ο Αρχιμήδης έκανε γνωστό το έργο του μέσω αλληλογραφίας με τους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας. Τα γραπτά του Αρχιμήδη συγκεντρώθηκαν για πρώτη φορά από τον Βυζαντινό Έλληνα αρχιτέκτονα Ισίδωρο της Μιλήτου (περ. 530 μ.Χ.), ενώ τα σχόλια για τα έργα του Αρχιμήδη που έγραψε ο Ευτόκιος τον έκτο αιώνα μ.Χ. βοήθησαν να γίνει το έργο του ευρύτερο κοινό. Το έργο του Αρχιμήδη μεταφράστηκε στα αραβικά από τον Thābit ibn Qurra (836-901 μ.Χ.) και στα λατινικά μέσω των αραβικών από τον Gerard της Κρεμόνας (περ. 1114-1187). Απευθείας μεταφράσεις από τα ελληνικά στα λατινικά έγιναν αργότερα από τον William of Moerbeke (περ. 1215-1286) και τον Iacobus Cremonensis (περ. 1400-1453).

Κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης, η Editio princeps (πρώτη έκδοση) εκδόθηκε στη Βασιλεία το 1544 από τον Johann Herwagen με τα έργα του Αρχιμήδη στα ελληνικά και στα λατινικά.

Έργα επιβίωσης

Τα παρακάτω είναι ταξινομημένα κατά χρονολογική σειρά με βάση τα νέα ορολογικά και ιστορικά κριτήρια που έθεσαν οι Knorr (1978) και Sato (1986).

Πρόκειται για ένα σύντομο έργο που αποτελείται από τρεις προτάσεις. Είναι γραμμένο με τη μορφή αλληλογραφίας με τον Δοσίθεο από το Πελούσιο, ο οποίος ήταν μαθητής του Κόνωνα από τη Σάμο. Στην Πρόταση ΙΙ, ο Αρχιμήδης δίνει μια προσέγγιση της τιμής του π (π), δείχνοντας ότι είναι μεγαλύτερη από 223

Σε αυτή την πραγματεία, γνωστή και ως Ψαμμίτης, ο Αρχιμήδης μετράει τον αριθμό των κόκκων άμμου που χωράνε μέσα στο σύμπαν. Στο βιβλίο αυτό αναφέρεται η ηλιοκεντρική θεωρία του ηλιακού συστήματος που προτάθηκε από τον Αρίσταρχο της Σάμου, καθώς και σύγχρονες ιδέες για το μέγεθος της Γης και την απόσταση μεταξύ διαφόρων ουράνιων σωμάτων. Χρησιμοποιώντας ένα σύστημα αριθμών βασισμένο στις δυνάμεις της μυριάδας, ο Αρχιμήδης καταλήγει στο συμπέρασμα ότι ο αριθμός των κόκκων άμμου που απαιτούνται για να γεμίσει το σύμπαν είναι 8×1063 με τη σύγχρονη σημειογραφία. Στην εισαγωγική επιστολή αναφέρεται ότι ο πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ένας αστρονόμος που ονομαζόταν Φειδίας. Το "The Sand Reckoner" είναι το μοναδικό σωζόμενο έργο στο οποίο ο Αρχιμήδης συζητά τις απόψεις του για την αστρονομία.

Το βιβλίο Περί ισορροπίας των επιπέδων αποτελείται από δύο βιβλία: το πρώτο περιέχει επτά αξιώματα και δεκαπέντε προτάσεις, ενώ το δεύτερο βιβλίο περιέχει δέκα προτάσεις. Στο πρώτο έργο, ο Αρχιμήδης αποδεικνύει τον νόμο του μοχλού, ο οποίος ορίζει ότι:

Τα μεγέθη βρίσκονται σε ισορροπία σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες των βαρών τους.

Ο Αρχιμήδης χρησιμοποιεί τις αρχές που προκύπτουν για τον υπολογισμό των εμβαδών και των κέντρων βάρους διαφόρων γεωμετρικών σχημάτων, συμπεριλαμβανομένων των τριγώνων, των παραλληλογράμμων και των παραβολών.

Στο έργο αυτό των 24 προτάσεων που απευθύνεται στον Δοσίθεο, ο Αρχιμήδης αποδεικνύει με δύο μεθόδους ότι το εμβαδόν που περικλείεται από μια παραβολή και μια ευθεία είναι 4

Σε αυτή τη δίτομη πραγματεία που απευθύνεται στον Δοσίθεο, ο Αρχιμήδης επιτυγχάνει το αποτέλεσμα για το οποίο ήταν πιο υπερήφανος, δηλαδή τη σχέση μεταξύ μιας σφαίρας και ενός περιγεγραμμένου κυλίνδρου ίδιου ύψους και διαμέτρου. Ο όγκος είναι 4

Το έργο αυτό των 28 προτάσεων απευθύνεται επίσης στον Δοσίθεο. Η πραγματεία ορίζει αυτό που σήμερα ονομάζεται Αρχιμήδειος σπείρα. Είναι ο τόπος των σημείων που αντιστοιχούν στις χρονικές θέσεις ενός σημείου που απομακρύνεται από ένα σταθερό σημείο με σταθερή ταχύτητα κατά μήκος μιας γραμμής που περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Ισοδύναμα, σε πολικές συντεταγμένες (r, θ) μπορεί να περιγραφεί από την εξίσωση r = a + b θ {\displaystyle \,r=a+b\theta } με πραγματικούς αριθμούς a και b.

Αυτό είναι ένα πρώιμο παράδειγμα μιας μηχανικής καμπύλης (καμπύλη που διαγράφεται από ένα κινούμενο σημείο) που θεωρήθηκε από έναν Έλληνα μαθηματικό.

Πρόκειται για ένα έργο σε 32 προτάσεις που απευθύνεται στον Δοσίθεο. Σε αυτή την πραγματεία ο Αρχιμήδης υπολογίζει τα εμβαδά και τους όγκους τμημάτων κώνων, σφαιρών και παραβολοειδών.

Στο πρώτο μέρος αυτής της δίτομης πραγματείας, ο Αρχιμήδης διατυπώνει το νόμο της ισορροπίας των ρευστών και αποδεικνύει ότι το νερό θα λάβει σφαιρική μορφή γύρω από ένα κέντρο βάρους. Αυτό μπορεί να ήταν μια προσπάθεια εξήγησης της θεωρίας των σύγχρονων Ελλήνων αστρονόμων, όπως ο Ερατοσθένης, ότι η Γη είναι στρογγυλή. Τα ρευστά που περιγράφει ο Αρχιμήδης δεν είναι αυτοβαρυτικά, καθώς προϋποθέτει την ύπαρξη ενός σημείου προς το οποίο όλα τα πράγματα πέφτουν προκειμένου να προκύψει το σφαιρικό σχήμα. Η αρχή της άντωσης του Αρχιμήδη δίνεται στο έργο αυτό και διατυπώνεται ως εξής:

Κάθε σώμα πλήρως ή μερικώς βυθισμένο σε ρευστό υφίσταται μια ανοδική ώθηση ίση με το βάρος του ρευστού που εκτοπίζεται, αλλά αντίθετη προς αυτό.

Στο δεύτερο μέρος, υπολογίζει τις θέσεις ισορροπίας των τμημάτων των παραβολοειδών. Αυτό ήταν πιθανώς μια εξιδανίκευση των σχημάτων των σκαφών των πλοίων. Ορισμένα από τα τμήματά του επιπλέουν με τη βάση κάτω από το νερό και την κορυφή πάνω από το νερό, παρόμοια με τον τρόπο που επιπλέουν τα παγόβουνα.

Γνωστό και ως Loculus του Αρχιμήδη ή Κουτί του Αρχιμήδη, πρόκειται για ένα παζλ ανατομίας παρόμοιο με το Τάνγκραμ, και η πραγματεία που το περιγράφει βρέθηκε σε πιο ολοκληρωμένη μορφή στο παλίμψηστο του Αρχιμήδη. Ο Αρχιμήδης υπολογίζει τα εμβαδά των 14 κομματιών που μπορούν να συναρμολογηθούν για να σχηματίσουν ένα τετράγωνο. Ο Reviel Netz του Πανεπιστημίου του Στάνφορντ υποστήριξε το 2003 ότι ο Αρχιμήδης προσπαθούσε να προσδιορίσει πόσοι τρόποι θα μπορούσαν να συναρμολογηθούν τα κομμάτια σε σχήμα τετραγώνου. Ο Netz υπολογίζει ότι τα κομμάτια μπορούν να σχηματιστούν σε τετράγωνο με 17.152 τρόπους. Ο αριθμός των διατάξεων είναι 536 όταν εξαιρεθούν οι λύσεις που είναι ισοδύναμες με περιστροφή και αντανάκλαση. Το παζλ αποτελεί παράδειγμα ενός πρώιμου προβλήματος της συνδυαστικής.

Η προέλευση της ονομασίας του γρίφου δεν είναι σαφής, και έχει προταθεί ότι προέρχεται από την αρχαία ελληνική λέξη για το "λαιμό" ή το "φάρυγγα", στομάχος (στόμαχος). Ο Ausonius ονομάζει το παζλ Ostomachion, μια ελληνική σύνθετη λέξη που σχηματίζεται από τις ρίζες των λέξεων osteon (ὀστέον, "οστό") και machē (μάχη, "μάχη").

Ο Γκότχολντ Εφραίμ Λέσινγκ ανακάλυψε το έργο αυτό σε ένα ελληνικό χειρόγραφο που αποτελείται από ένα ποίημα 44 στίχων στη Βιβλιοθήκη Herzog August στο Wolfenbüttel της Γερμανίας το 1773. Απευθύνεται στον Ερατοσθένη και στους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας. Ο Αρχιμήδης τους προκαλεί να μετρήσουν τον αριθμό των βοοειδών στο κοπάδι του Ήλιου λύνοντας έναν αριθμό ταυτόχρονων διοφαντικών εξισώσεων. Υπάρχει μια πιο δύσκολη εκδοχή του προβλήματος στην οποία ορισμένες από τις απαντήσεις απαιτείται να είναι τετραγωνικοί αριθμοί. Ο A. Amthor έλυσε για πρώτη φορά αυτή την εκδοχή του προβλήματος το 1880 και η απάντηση είναι ένας πολύ μεγάλος αριθμός, περίπου 7,760271×10206544.

Η πραγματεία αυτή θεωρήθηκε χαμένη μέχρι την ανακάλυψη του παλίμψηστου του Αρχιμήδη το 1906. Σε αυτό το έργο ο Αρχιμήδης χρησιμοποιεί τα αδιαίρετα και δείχνει πώς η διάσπαση ενός σχήματος σε άπειρο αριθμό απείρως μικρών τμημάτων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του εμβαδού ή του όγκου του. Μπορεί να θεώρησε ότι αυτή η μέθοδος στερείται τυπικής αυστηρότητας, γι' αυτό και χρησιμοποίησε επίσης τη μέθοδο της εξάντλησης για να εξάγει τα αποτελέσματα. Όπως και το Πρόβλημα των βοοειδών, η Μέθοδος των μηχανικών θεωρημάτων γράφτηκε με τη μορφή επιστολής προς τον Ερατοσθένη στην Αλεξάνδρεια.

Απόκρυφα έργα

Το Βιβλίο των Λημμάτων του Αρχιμήδη ή Liber Assumptorum είναι μια πραγματεία με 15 προτάσεις για τη φύση των κύκλων. Το παλαιότερο γνωστό αντίγραφο του κειμένου είναι στα αραβικά. Οι μελετητές T. L. Heath και Marshall Clagett υποστήριξαν ότι δεν μπορεί να έχει γραφτεί από τον Αρχιμήδη στη σημερινή του μορφή, καθώς παραθέτει τον Αρχιμήδη, γεγονός που υποδηλώνει τροποποίηση από άλλον συγγραφέα. Τα Λήμματα μπορεί να βασίζονται σε ένα προγενέστερο έργο του Αρχιμήδη που έχει πλέον χαθεί.

Έχει επίσης υποστηριχθεί ότι ο τύπος του Ήρωνα για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου από το μήκος των πλευρών του ήταν γνωστός στον Αρχιμήδη. Η παλαιότερη αξιόπιστη αναφορά στον τύπο δίνεται από τον Ήρωνα της Αλεξάνδρειας τον 1ο αιώνα μ.Χ.

Αρχιμήδης Παλίμψηστο

Το σημαντικότερο έγγραφο που περιέχει το έργο του Αρχιμήδη είναι το παλίμψηστο του Αρχιμήδη. Το 1906, ο Δανός καθηγητής Johan Ludvig Heiberg επισκέφθηκε την Κωνσταντινούπολη για να εξετάσει μια περγαμηνή από κατσικίσιο δέρμα 174 σελίδων με προσευχές, γραμμένες τον 13ο αιώνα, αφού διάβασε μια σύντομη μεταγραφή που είχε δημοσιευθεί επτά χρόνια νωρίτερα από τον Παπαδόπουλο-Κεραμέως. Επιβεβαίωσε ότι επρόκειτο όντως για παλίμψηστο, ένα έγγραφο με κείμενο που είχε γραφτεί πάνω σε ένα σβησμένο παλαιότερο έργο. Τα παλίμψηστα δημιουργούνταν με απόξεση του μελανιού από υπάρχοντα έργα και επαναχρησιμοποίησή τους, μια συνήθης πρακτική κατά τον Μεσαίωνα, καθώς η περγαμηνή ήταν ακριβή. Τα παλαιότερα έργα στο παλίμψηστο αναγνωρίστηκαν από τους μελετητές ως αντίγραφα του 10ου αιώνα από προηγουμένως χαμένες πραγματείες του Αρχιμήδη. Η περγαμηνή πέρασε εκατοντάδες χρόνια σε βιβλιοθήκη μοναστηριού στην Κωνσταντινούπολη προτού πωληθεί σε ιδιώτη συλλέκτη τη δεκαετία του 1920. Στις 29 Οκτωβρίου 1998, πωλήθηκε σε δημοπρασία σε ανώνυμο αγοραστή έναντι 2 εκατομμυρίων δολαρίων.

Το παλίμψηστο περιέχει επτά πραγματείες, συμπεριλαμβανομένου του μοναδικού σωζόμενου αντιγράφου του Περί πλωτών σωμάτων στο πρωτότυπο ελληνικό κείμενο. Είναι η μόνη γνωστή πηγή της Μεθόδου των μηχανικών θεωρημάτων, στην οποία αναφέρεται ο Σούιδας και θεωρείται ότι έχει χαθεί για πάντα. Στο παλίμψηστο ανακαλύφθηκε επίσης το Στομάχιον, με μια πληρέστερη ανάλυση του γρίφου από ό,τι είχε βρεθεί σε προηγούμενα κείμενα. Το παλίμψηστο φυλάχθηκε στο Μουσείο Τέχνης Walters στη Βαλτιμόρη του Μέριλαντ, όπου υποβλήθηκε σε μια σειρά σύγχρονων δοκιμών, συμπεριλαμβανομένης της χρήσης υπεριώδους φωτός και ακτίνων Χ για την ανάγνωση του υπεργραμμένου κειμένου. Έκτοτε επέστρεψε στον ανώνυμο ιδιοκτήτη του.

Οι πραγματείες στο παλίμψηστο του Αρχιμήδη περιλαμβάνουν:

Μερικές φορές αποκαλείται πατέρας των μαθηματικών και της μαθηματικής φυσικής, ο Αρχιμήδης είχε ευρεία επιρροή στα μαθηματικά και την επιστήμη.

Μαθηματικά και φυσική

Οι ιστορικοί της επιστήμης και των μαθηματικών συμφωνούν σχεδόν καθολικά ότι ο Αρχιμήδης ήταν ο καλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας. Ο Έρικ Τεμπλ Μπελ, για παράδειγμα, έγραψε: "Ο Αρχιμήδης ήταν ο πρώτος που έγραψε:

Οποιοσδήποτε κατάλογος των τριών "μεγαλύτερων" μαθηματικών όλης της ιστορίας θα περιλάμβανε το όνομα του Αρχιμήδη. Οι άλλοι δύο που συνήθως συνδέονται μαζί του είναι ο Νεύτωνας και ο Γκάους. Ορισμένοι, λαμβάνοντας υπόψη τον σχετικό πλούτο -ή τη φτώχεια- των μαθηματικών και της φυσικής επιστήμης στις αντίστοιχες εποχές στις οποίες έζησαν αυτοί οι γίγαντες και εκτιμώντας τα επιτεύγματά τους σε σχέση με το υπόβαθρο της εποχής τους, θα έβαζαν τον Αρχιμήδη πρώτο.

Ομοίως, ο Alfred North Whitehead και ο George F. Simmons είπαν για τον Αρχιμήδη:

... το έτος 1500 η Ευρώπη γνώριζε λιγότερα από τον Αρχιμήδη που πέθανε το έτος 212 π.Χ. ...

Αν αναλογιστούμε τι πέτυχαν όλοι οι άλλοι άνθρωποι στα μαθηματικά και τη φυσική, σε κάθε ήπειρο και σε κάθε πολιτισμό, από την αρχή του κόσμου μέχρι τον 17ο αιώνα στη Δυτική Ευρώπη, τα επιτεύγματα του Αρχιμήδη υπερτερούν όλων. Ήταν ένας μεγάλος πολιτισμός από μόνος του.

Ο Reviel Netz, καθηγητής Suppes στα Ελληνικά Μαθηματικά και την Αστρονομία στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ και ειδικός στις σημειώσεις του Αρχιμήδη:

Και έτσι, δεδομένου ότι ο Αρχιμήδης οδήγησε περισσότερο από οποιονδήποτε άλλον στη διαμόρφωση του λογισμού και ότι ήταν ο πρωτοπόρος της εφαρμογής των μαθηματικών στον φυσικό κόσμο, αποδεικνύεται ότι η δυτική επιστήμη δεν είναι παρά μια σειρά υποσημειώσεων στον Αρχιμήδη. Έτσι, αποδεικνύεται ότι ο Αρχιμήδης είναι ο σημαντικότερος επιστήμονας που έζησε ποτέ.

Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι εξέφρασε επανειλημμένα το θαυμασμό του για τον Αρχιμήδη και απέδωσε την εφεύρεσή του Architonnerre στον Αρχιμήδη. Ο Γαλιλαίος τον αποκάλεσε "υπεράνθρωπο" και "δάσκαλό μου", ενώ ο Huygens δήλωσε: "Νομίζω ότι ο Αρχιμήδης δεν συγκρίνεται με κανέναν" και διαμόρφωσε το έργο του με βάση αυτόν. Ο Λάιμπνιτς είπε: "Όποιος καταλαβαίνει τον Αρχιμήδη και τον Απολλώνιο θα θαυμάζει λιγότερο τα επιτεύγματα των κορυφαίων ανδρών των μεταγενέστερων εποχών". Οι ήρωες του Γκάους ήταν ο Αρχιμήδης και ο Νεύτωνας, και ο Μόριτζ Κάντορ, ο οποίος σπούδασε υπό τον Γκάους στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν, ανέφερε ότι κάποτε σε μια συζήτηση παρατήρησε ότι "υπήρξαν μόνο τρεις μαθηματικοί που έκαναν εποχή: Αρχιμήδης, Νεύτων και Αϊζενστάιν".

Ο εφευρέτης Νίκολα Τέσλα τον επαίνεσε, λέγοντας:

Ο Αρχιμήδης ήταν το ιδανικό μου. Θαύμαζα τα έργα των καλλιτεχνών, αλλά για το μυαλό μου ήταν μόνο σκιές και υποδείξεις. Ο εφευρέτης, σκέφτηκα, δίνει στον κόσμο δημιουργίες που είναι απτές, που ζουν και λειτουργούν.

Προσπάθειες ανασυγκρότησης

Το κείμενο Mappae clavicula του 12ου αιώνα περιέχει οδηγίες σχετικά με τον τρόπο εκτέλεσης των ζυγίσεων στο νερό για τον υπολογισμό του ποσοστού του χρησιμοποιούμενου αργύρου και την επίλυση του προβλήματος. Το λατινικό ποίημα Carmen de ponderibus et mensuris του 4ου ή 5ου αιώνα περιγράφει τη χρήση υδροστατικής ζυγαριάς για την επίλυση του προβλήματος της κορώνας και αποδίδει τη μέθοδο στον Αρχιμήδη.

Το 1973 ο Έλληνας επιστήμονας Ιωάννης Σακκάς πραγματοποίησε μια δοκιμή της θερμικής ακτίνας του Αρχιμήδη. Το πείραμα έλαβε χώρα στη ναυτική βάση Σκαραμαγκά έξω από την Αθήνα. Χρησιμοποιήθηκαν εβδομήντα κάτοπτρα, το καθένα με επίστρωση χαλκού και μέγεθος περίπου 5 επί 3 πόδια (1,52 m × 0,91 m). Τα κάτοπτρα ήταν στραμμένα προς ένα κόντρα πλακέ ομοίωμα ενός ρωμαϊκού πολεμικού πλοίου σε απόσταση περίπου 49 μέτρων (160 πόδια). Όταν τα κάτοπτρα εστιάστηκαν με ακρίβεια, το πλοίο τυλίχθηκε στις φλόγες μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Το πλοίο είχε μια επίστρωση από χρώμα πίσσας, η οποία μπορεί να βοήθησε την καύση. Οι επιστρώσεις πίσσας ήταν συνηθισμένες στα πλοία της κλασικής εποχής.

Τον Οκτώβριο του 2005 μια ομάδα φοιτητών από το Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Μασαχουσέτης πραγματοποίησε ένα πείραμα με 127 τετράγωνα πλακίδια καθρέφτη ενός ποδιού (30 cm), τα οποία εστίασαν σε ένα ξύλινο πλοίο σε απόσταση περίπου 30 μέτρων. Σε ένα σημείο του πλοίου ξέσπασαν φλόγες, αλλά μόνο αφού ο ουρανός ήταν ανέφελος και το πλοίο είχε παραμείνει ακίνητο για περίπου δέκα λεπτά. Το συμπέρασμα ήταν ότι η συσκευή ήταν ένα εφικτό όπλο υπό αυτές τις συνθήκες. Η ομάδα του ΜΙΤ επανέλαβε το πείραμα για την τηλεοπτική εκπομπή MythBusters, χρησιμοποιώντας ως στόχο μια ξύλινη ψαρόβαρκα στο Σαν Φρανσίσκο. Και πάλι σημειώθηκε κάποια απανθράκωση, μαζί με μια μικρή ποσότητα φλόγας. Για να πιάσει φωτιά, το ξύλο πρέπει να φτάσει τη θερμοκρασία αυτοανάφλεξής του, η οποία είναι περίπου 300 °C (572 °F).

Όταν το MythBusters μετέδωσε το αποτέλεσμα του πειράματος στο Σαν Φρανσίσκο τον Ιανουάριο του 2006, ο ισχυρισμός κατατάχθηκε στην κατηγορία "busted" (δηλαδή απέτυχε) λόγω της διάρκειας του χρόνου και των ιδανικών καιρικών συνθηκών που απαιτούνταν για την ανάφλεξη. Επισημάνθηκε επίσης ότι, δεδομένου ότι οι Συρακούσες βλέπουν τη θάλασσα προς τα ανατολικά, ο ρωμαϊκός στόλος θα έπρεπε να επιτεθεί κατά τη διάρκεια του πρωινού για τη βέλτιστη συγκέντρωση του φωτός από τα κάτοπτρα. Οι MythBusters επεσήμαναν επίσης ότι τα συμβατικά όπλα, όπως φλεγόμενα βέλη ή βίδες από καταπέλτη, θα ήταν ένας πολύ πιο εύκολος τρόπος για να βάλουν φωτιά σε ένα πλοίο σε μικρές αποστάσεις.

Τον Δεκέμβριο του 2010, το MythBusters εξέτασε και πάλι την ιστορία με τις ακτίνες θερμότητας σε μια ειδική έκδοση με τίτλο "President's Challenge". Πραγματοποιήθηκαν διάφορα πειράματα, συμπεριλαμβανομένης μιας δοκιμής μεγάλης κλίμακας με 500 μαθητές που στόχευαν με καθρέφτες μια μακέτα ενός ρωμαϊκού ιστιοφόρου σε απόσταση 400 ποδιών (120 μέτρων). Σε όλα τα πειράματα, το ιστίο απέτυχε να φτάσει τους 210 °C (410 °F) που απαιτούνται για να πιάσει φωτιά, και η ετυμηγορία ήταν και πάλι "αποτυχημένη". Η εκπομπή κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ένα πιο πιθανό αποτέλεσμα των κατόπτρων θα ήταν να τυφλώνουν, να θαμπώνουν ή να αποσπούν την προσοχή του πληρώματος του πλοίου.

Τιμές και μνημόσυνα

Υπάρχει ένας κρατήρας στη Σελήνη που ονομάστηκε Αρχιμήδης (-4,0) προς τιμήν του, καθώς και μια σεληνιακή οροσειρά, τα Montes Archimedes (-4,6).

Το μετάλλιο Fields για εξαιρετικές επιδόσεις στα μαθηματικά φέρει το πορτρέτο του Αρχιμήδη, μαζί με ένα γλυπτό που απεικονίζει την απόδειξή του για τη σφαίρα και τον κύλινδρο. Η επιγραφή γύρω από το κεφάλι του Αρχιμήδη είναι ένα απόσπασμα που αποδίδεται στον ποιητή του 1ου αιώνα μ.Χ. Μανίλιο, το οποίο αναφέρει στα λατινικά: Transire suum pectus mundoque potiri ("Ανεβείτε πάνω από τον εαυτό σας και πιάστε τον κόσμο").

Ο Αρχιμήδης έχει εμφανιστεί σε γραμματόσημα που εκδόθηκαν από την Ανατολική Γερμανία (1973), την Ελλάδα (1983), την Ιταλία (1983), τη Νικαράγουα (1971), τον Άγιο Μαρίνο (1982) και την Ισπανία (1963).

Το επιφώνημα "Εύρηκα!" που αποδίδεται στον Αρχιμήδη είναι το πολιτειακό σύνθημα της Καλιφόρνιας. Στην προκειμένη περίπτωση, η λέξη αναφέρεται στην ανακάλυψη χρυσού κοντά στο Sutter's Mill το 1848, η οποία πυροδότησε τη Χρυσή Βιασύνη της Καλιφόρνιας.

Πηγές

1. Αρχιμήδης
2. Archimedes
3. ^ Periochae, 24.3 e 25.10-11.
4. ^ G. Cambiano, Scoperta e dimostrazione in Archimede, in «Figure meccaniche, sogni, saggi sulla scienza antica», Storia e letteratura 232, Roma 2006, pp. 111-130
5. ^ P. Greco, La scienza e l'Europa. Dalle origini al XIII secolo, Roma 2014, p. 62: «Se il più grande geometra dell'antichità e di tutti i tempi è Euclide, il più grande matematico e il primo fisico matematico in assoluto è certo Archimede, che vive e lavora a Siracusa, anche se frequenta Alessandria. Nella città africana studia da giovane, probabilmente con gli allievi di prima generazione di Euclide, forse vi ritorna più volte in età adulta e, in ogni caso, resta in contatto, attraverso una fitta corrispondenza, con la comunità della Biblioteca e in particolare con Eratostene, di cui è amico».
6. ^ In the preface to On Spirals addressed to Dositheus of Pelusium, Archimedes says that "many years have elapsed since Conon's death." Conon of Samos lived c. 280–220 BC, suggesting that Archimedes may have been an older man when writing some of his works.
7. ^ The treatises by Archimedes known to exist only through references in the works of other authors are: On Sphere-Making and a work on polyhedra mentioned by Pappus of Alexandria; Catoptrica, a work on optics mentioned by Theon of Alexandria; Principles, addressed to Zeuxippus and explaining the number system used in The Sand Reckoner; On Balances and Levers; On Centers of Gravity; On the Calendar.
8. ^ Boyer, Carl Benjamin. 1991. A History of Mathematics. ISBN 978-0-471-54397-8: "Arabic scholars inform us that the familiar area formula for a triangle in terms of its three sides, usually known as Heron's formula — k = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle k={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} , where s {\displaystyle s} is the semiperimeter — was known to Archimedes several centuries before Heron lived. Arabic scholars also attribute to Archimedes the 'theorem on the broken chord' ... Archimedes is reported by the Arabs to have given several proofs of the theorem."
9. ^ Casson, Lionel. 1995. Ships and seamanship in the ancient world Archived 17 April 2021 at the Wayback Machine. Baltimore: Johns Hopkins University Press. pp. 211–12. ISBN 978-0-8018-5130-8: "It was usual to smear the seams or even the whole hull with pitch or with pitch and wax". In Νεκρικοὶ Διάλογοι (Dialogues of the Dead), Lucian refers to coating the seams of a skiff with wax, a reference to pitch (tar) or wax.
10. Год рождения Архимеда вычисляется на основании труда византийского филолога XII столетия Иоанна Цеца «Хилиады». В нём утверждается, что на момент смерти во время штурма римлянами Сиракуз в 212 году до н. э. Архимеду было 75 лет. Соответственно годом рождения был 287 год до н. э. Так как дата непротиворечива, то она и принята современными учёными[2].
11. Единственным свидетельством о Фидии является упоминание в работе Архимеда Псаммит, однако это место испорчено и не все историки согласны, что Архимед[5] в этом месте говорит о своём отце.
12. Классическое образование в Элладе богатых и знатных людей предполагало занятия философией и литературой, в то время как остальные обучали детей только тому, что знали сами. Среди всех дошедших до сегодняшнего дня работ Архимеда, свидетельств о жизни учёного, нет никаких сведений о занятиях гуманитарными науками. На основании этого С. Я. Лурье и делает соответствующие выводы.
13. Сведения о родстве Гиерона и Архимеда в античных источниках содержатся только у Плутарха, который родился более чем через два с половиной столетия после смерти Архимеда и Гиерона: «Архимед как-то раз написал царю Гиерону, с которым был в дружбе и родстве»[6].
14. En el prefacio de Sobre las espirales, dirigido a Dositeo de Pelusio, Arquímedes dice que «muchos años han pasado desde la muerte de Conon». Conon de Samos vivió c. 280-220 a. C., lo que sugiere que Arquímedes puede haber sido más viejo cuando escribió algunos de sus trabajos.
15. Los tratados de Arquímedes que solo se conocen a través de referencias de otros autores son: Sobre hacer esferas y una obra sobre poliedros mencionada por Papus de Alejandría; Catoptrica, una obra sobre óptica mencionada por Teón de Alejandría; Principios, dirigido a Zeuxippos, que explicaba el sistema numérico usado en El contador de arena; Sobre balanzas y palancas; Sobre los centros de gravedad; Sobre el calendario. De las obras de Arquímedes, Heath, T. L. da la siguiente teoría acerca del orden en que fueron escritas: Sobre el equilibrio de los planos I, La cuadratura de la parábola, Sobre el equilibrio de los planos II, Sobre la esfera y el cilindro I, II, Sobre las espirales, Sobre los conoides y esferoides, Sobre los cuerpos flotantess I, II, Sobre la medida de un círculo, El contador de arena.