Zusammenfassung

Euklid (griechisch Εὐκλείδης, Eukleidēs, lateinisch Euclīdēs) war ein griechischer Mathematiker und Geometriker (ca. 325 v. Chr. - ca. 265 v. Chr.). Er ist als "Vater der Geometrie" bekannt und wirkte in Alexandria (Altägypten) zur Zeit von Ptolemaios I. Soter (323 - 283 v. Chr.) und gründete die dortige Schule für Mathematik.

Sein berühmtestes Werk war eine erläuternde, systematische und bewiesene Zusammenstellung des zu seiner Zeit vorhandenen mathematischen Wissens in dreizehn Büchern, die sogenannten Elemente, die oft als das erfolgreichste Handbuch, Traktat oder Lehrbuch in der Geschichte der Mathematik angesehen werden, in dem die Eigenschaften geometrischer Objekte und natürlicher Zahlen rational aus einer kleinen Menge von Axiomen abgeleitet werden. Dieses Werk, eine der ältesten bekannten Abhandlungen, die systematisch und mit Beweisen eine große Anzahl von Theoremen über Geometrie und theoretische Arithmetik präsentiert, hat Hunderte von Auflagen in allen Sprachen erlebt, und seine Themen bilden in vielen Ländern die Grundlage des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Euklids Algorithmus, die euklidische (und nichteuklidische) Geometrie und die euklidische Division gehen ebenfalls auf den Namen ihres Herausgebers Euklid zurück. Andere Werke von ihm befassen sich mit Perspektive, Kegelschnitten, sphärischer Geometrie und Zahlentheorie.

Sein Leben ist wenig bekannt. Und obwohl er in Alexandria lebte (einige arabische Autoren behaupten, Euklid sei in Tyrus geboren und habe in Damaskus gelebt), besteht das Problem darin, dass es keine direkte Quelle für Euklids Leben gibt: keinen Brief, keinen autobiografischen Bericht (nicht einmal in Form einer Vorrede zu einem Werk), kein offizielles Dokument und nicht eine einzige Anspielung eines seiner Zeitgenossen. Wie der Mathematikhistoriker Peter Schreiber resümiert, ist "kein einziger sicherer Fakt über Euklids Leben bekannt", und auch wenn es andere Fakten gibt, sind sie unzuverlässig.

Bekannt ist nur, dass er der Sohn eines gewissen Naukrates war, und es werden drei Hypothesen aufgestellt:

Es ist möglich, dass Euklid an Platons Akademie studierte und dort die Grundlagen seines Wissens erlernte.

Proklos, der letzte der großen griechischen Philosophen, der um 450 lebte, schrieb wichtige Kommentare zu Buch I der Elemente, die eine wertvolle Quelle für die Geschichte der griechischen Mathematik darstellen. So wissen wir z. B., dass Euklid Beiträge von Eudoxus von Cnidus zur Proportionslehre und von Theaetetus zu regelmäßigen Polyedern zusammenfasste.

Die älteste bekannte Schrift über Euklids Leben findet sich in einer Zusammenfassung der Geschichte der Geometrie, die im 5. Jahrhundert n. Chr. von dem neuplatonischen Philosophen Proklos, einem Kommentator des ersten Buches der Elemente, verfasst wurde. Proklos selbst bietet keine Quelle für seine Angaben. Er sagt nur: "Nachdem er seine Elemente zusammengestellt hat, beschwört er in unwiderlegbaren Beweisen, was seine Vorgänger in lockerer Weise gelehrt hatten. Dieser Mann lebte jedoch unter Ptolemäus I., denn Archimedes erwähnt Euklid. Euklid ist also jünger als die Schüler Platons, aber älter als Archimedes und Eratosthenes".

Wenn man die von Proclus angegebene Chronologie akzeptiert, lebte Euklid zwischen Platon und Archimedes und war ein Zeitgenosse von Ptolemäus I., etwa 300 v. Chr.

Kein Dokument widerlegt oder widerspricht diesen wenigen Sätzen, aber es bestätigt sie auch nicht wirklich. Die direkte Erwähnung von Euklid in den Werken von Archimedes stammt aus einer als zweifelhaft geltenden Passage.

Archimedes bezieht sich auf einige Ergebnisse der Elemente, und ein Ostrachus, der auf der Insel Elephantine gefunden wurde und auf das Jahr III v. Chr. datiert wird, befasst sich mit Figuren, die im Buch XIII der Elemente untersucht werden, wie dem Zehneck und dem Ikosaeder, ohne jedoch die euklidischen Aussagen genau wiederzugeben; sie könnten daher aus Quellen vor Euklid stammen. Die ungefähre Datierung auf 300 v. Chr. wird jedoch als vereinbar mit der Analyse des Inhalts des euklidischen Werks angesehen und von den Mathematikhistorikern übernommen.

Andererseits deutet eine Anspielung des Mathematikers Papo von Alexandria aus dem vierten Jahrhundert darauf hin, dass Schüler von Euklid in Alexandria gelehrt haben könnten. Einige Autoren haben Euklid auf dieser Grundlage mit dem Museion von Alexandria in Verbindung gebracht; er taucht jedoch in keinem offiziellen Dokument auf. Der Beiname, der in der Antike häufig mit Euklid in Verbindung gebracht wird, ist einfach Stoitxeiotes, der Autor der Elemente".

Über Euklid kursieren mehrere Anekdoten, die aber, da sie sich auch auf andere Mathematiker beziehen, nicht als wahr angesehen werden: zum Beispiel die berühmte, von Proklos erzählte Anekdote, nach der Euklid Ptolemäus - der einen einfacheren Weg als die Elemente zum Erlernen der Mathematik suchte - antwortete, dass "es keine wirklichen Wege in der Geometrie gibt"; eine Variante derselben Anekdote wird auch Menekomos und Alexander dem Großen zugeschrieben. In ähnlicher Weise wurden seit der Spätantike verschiedene Details zu den Berichten über Euklids Leben hinzugefügt, ohne neue Quellen und oft in widersprüchlicher Weise. Bei einigen Autoren wird Euklid beispielsweise in Tyrus geboren, bei anderen in Gela; ihm werden verschiedene Genealogien und besondere Gönner zugeschrieben, ebenso wie unterschiedliche Geburts- und Todesdaten, um die Regeln der Gattung einzuhalten oder um bestimmte Interpretationen zu begünstigen. Im Mittelalter und auch zu Beginn der Renaissance wird der Mathematiker Euklid häufig mit einem Zeitgenossen Platons, Euklid von Megara, verwechselt.

Mehrere Autoren erwähnen Werke, die Euklid zugeschrieben werden, insbesondere in der mathematischen Sammlung von Pappus und im Kommentar zu Euklids Elementen von Proklus. Nur ein Teil dieser Werke ist bis heute erhalten geblieben.

Die Elemente

Seine Elemente gehören zu den bekanntesten wissenschaftlichen Werken der Welt und waren eine Zusammenstellung des Wissens, das damals in der akademischen Welt gelehrt wurde. Die Elemente waren nicht, wie manchmal angenommen wird, ein Kompendium aller geometrischen Kenntnisse, sondern vielmehr ein Einführungstext, der die gesamte elementare Mathematik abdeckt, d. h. Arithmetik, synthetische Geometrie und Algebra.

Die Elemente sind in dreizehn Bücher oder Kapitel unterteilt, von denen das erste halbe Dutzend über elementare ebene Geometrie, die nächsten drei über Zahlentheorie, Buch X über die Inkommensurablen (d.h. über irrationale Zahlen, wahrscheinlich eine Neufassung von Theaetetus) und die letzten drei hauptsächlich über die Geometrie von Körpern sind.

In den der Geometrie gewidmeten Büchern wird, ausgehend von nur fünf Postulaten, das Studium der Eigenschaften von Linien und Ebenen, Kreisen und Kugeln, Dreiecken und Kegeln usw., d. h. von regelmäßigen Formen, in formaler Weise dargestellt. Wahrscheinlich wurde keines der Ergebnisse der Elemente zuerst von Euklid bewiesen, aber die Organisation des Materials und seine Darstellung sind zweifellos auf ihn zurückzuführen. Vieles deutet darauf hin, dass Euklid bei der Abfassung der Elemente auf frühere Lehrbücher zurückgegriffen hat, da er eine große Anzahl von Definitionen vorlegt, die nicht verwendet werden, wie z. B. die eines Rechtecks, eines Rhombus und eines Rhomboids. Euklids Theoreme sind diejenigen, die im Allgemeinen in der modernen Schule gelernt werden. Um einige der bekanntesten zu zitieren:

Die Bücher VII, VIII und IX der Elemente behandeln die Theorie der Teilbarkeit. Sie befassen sich mit der Verbindung zwischen perfekten Zahlen und Mersenne-Primzahlen (bekannt als Euklid-Euler-Theorem), der Unendlichkeit von Primzahlen (Euklids Theorem), Euklids Lemma über die Faktorisierung (das zum Fundamentalsatz der Arithmetik über die Eindeutigkeit von Faktorisierungen von Primzahlen führt) und Euklids Algorithmus zur Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen.

Die Geometrie von Euklid ist nicht nur ein leistungsfähiges Werkzeug für deduktives Denken, sondern hat sich auch in vielen Wissensgebieten als äußerst nützlich erwiesen, beispielsweise in der Physik, Astronomie, Chemie und in verschiedenen technischen Bereichen. In der Mathematik ist sie sicherlich sehr nützlich. Inspiriert von Euklids Harmonie der Darstellung wurde im zweiten Jahrhundert die ptolemäische Theorie des Universums formuliert, nach der die Erde das Zentrum des Universums ist und die Planeten, der Mond und die Sonne sich in perfekten Linien, d. h. Kreisen und Kombinationen von Kreisen, um sie drehen. Die Vorstellungen Euklids sind jedoch sehr weit von der Realität entfernt. Er geht zum Beispiel davon aus, dass ein Punkt keine Größe hat, dass eine Linie eine Menge von Punkten ist, die weder Breite noch Dicke, sondern nur Länge hat, dass eine Fläche keine Dicke hat usw. Da ein Punkt nach Euklid keine Größe hat, wird ihm eine Dimension oder Größe von Null zugewiesen. Eine Linie hat nur eine Länge, also erhält sie eine Dimension gleich eins. Eine Fläche hat keine Dicke, keine Höhe, also hat sie zwei Dimensionen: Breite und Länge. Ein fester Körper schließlich, wie ein Würfel, hat drei Dimensionen: Länge, Breite und Höhe. Euklid versuchte, das gesamte mathematische Wissen in seinem Buch Die Elemente zusammenzufassen. Euklids Geometrie war ein Werk, das bis ins 19. Jahrhundert unverändert blieb.

Von den Anfangsaxiomen schien nur das Axiom der parallelen Linien weniger offensichtlich. Verschiedene Mathematiker versuchten erfolglos, auf dieses Axiom zu verzichten, indem sie versuchten, es aus den übrigen Axiomen abzuleiten und als Theorem darzustellen - ohne Erfolg.

Schließlich schufen einige Autoren neue Geometrien, indem sie das Parallelenaxiom außer Kraft setzten oder ersetzten, wodurch "nicht-euklidische Geometrien" entstanden. Das Hauptmerkmal dieser Geometrien (elliptische Geometrie und hyperbolische Geometrie) besteht darin, dass sich durch die Änderung des Parallelenaxioms die Winkel eines Dreiecks nicht mehr zu 180 Grad addieren: Der erste addiert sich zu mehr, der zweite zu weniger.

Die Daten (Δεδομένα) sind das einzige andere Werk von Euklid, das sich mit der Geometrie befasst und von dem eine griechische Fassung erhalten ist (es befindet sich z. B. in der von François Peyrard entdeckten Handschrift X). Es wird auch in Buch VII der mathematischen Sammlung von Papo, der "Schatzkammer der Analysis", die eng mit den ersten vier Büchern der Elemente verbunden ist, ausführlich beschrieben. Darin geht es um die Art der Daten, die bei geometrischen Problemen verwendet werden, und um ihre Natur. Die Daten sind im Rahmen der ebenen Geometrie angesiedelt und werden von den Historikern als Ergänzung oder Anhang zu den Elementen betrachtet, in einer geeigneteren oder didaktischeren Form für die Analyse von Problemen. Das Werk enthält 15 Definitionen und erklärt, was ein geometrisches Objekt in Bezug auf Position, Form und Größe bedeutet, sowie 94 Theoreme. Diese erklären, dass, wenn einige Elemente einer Figur gegeben sind, andere Beziehungen oder Elemente bestimmt werden können.

Zu den Abteilungen

Dieses Werk (Περὶ διαιρέσεων Βιβλίον) wird im Kommentar des Proklos beschrieben, ist aber in seiner griechischen Originalsprache verloren gegangen; es gibt Stücke in Latein (De divisionibus), vor allem aber ist ein im 19. Jahrhundert entdecktes Manuskript in arabischer Sprache erhalten, das 36 Sätze enthält, von denen vier bewiesen sind.

Sie befasst sich mit der Aufteilung geometrischer Figuren in zwei oder mehr gleiche Teile oder in Teile mit bestimmten Proportionen. Es ähnelt einem Werk von Heron von Alexandria aus dem 3. Jahrhundert nach Christus. In diesem Werk versucht er, gerade Linien zu konstruieren, die gegebene Figuren in gegebene Proportionen und Formen unterteilen. So wird z. B. gefordert, bei einem Dreieck und einem Punkt im Inneren des Dreiecks eine Linie zu konstruieren, die durch den Punkt verläuft und das Dreieck in zwei Figuren gleicher Fläche zerlegt; oder bei einem Kreis zwei parallele Linien zu konstruieren, so dass der Teil des Kreises, den sie begrenzen, ein Drittel der Fläche des Kreises ausmacht.

Über Fehler (Pseudaria)

Über Irrtümer (dies ist ein verlorenes Werk, das nur durch die Beschreibung von Proklos bekannt ist. Proklos zufolge sollte das Werk Anfänger daran gewöhnen, falsche Schlussfolgerungen zu erkennen, insbesondere solche, die deduktives Denken imitieren und so den Anschein von Wahrheit erwecken. Er gab Beispiele für Parallelogismen.

Vier Bücher über Kegelschnitte

Die Vier Bücher über Kegelschnitte (Κωνικῶν Βιβλία) sind verloren gegangen. Es war ein Werk über Kegelschnitte, das später von Apollonius von Perge in einem berühmten Buch zum selben Thema erweitert wurde. Es ist wahrscheinlich, dass die ersten vier Bücher von Apollonius' Werk direkt von Euklid stammen. Nach Papo "hat Apollonius, nachdem er Euklids vier Bücher der Konik vollendet und vier weitere hinzugefügt hatte, acht Bände der Konik hinterlassen". Apollonius' Konik verdrängte schnell das ursprüngliche Werk, und zur Zeit von Papus war Euklids Werk verloren gegangen.

Drei Nano-Bücher

Drei Bücher der Porismen (Πορισμάτων Βιβλία) könnten eine Erweiterung seiner Arbeit über die Kegelschnitte gewesen sein, aber die Bedeutung des Titels ist nicht klar, da das Werk verloren gegangen ist. Es wird jedoch in zwei Passagen von Proklus erwähnt und ist vor allem Gegenstand einer langen Darstellung in Buch VII der Sammlung von Pappus, der "Schatzkammer der Analyse", als ein bedeutendes und weitreichendes Beispiel für den analytischen Ansatz. Das Wort Porisma hat mehrere Verwendungen: Nach Papo würde es hier eine Aussage von mittlerem Typ zwischen Theoremen und Problemen bezeichnen. Euklids Werk soll 171 solcher Aussagen und 38 Lemmata enthalten haben. Pappos nennt Beispiele wie: "Wenn, ausgehend von zwei gegebenen Punkten, Geraden gezeichnet werden, die eine gegebene Gerade schneiden, und wenn eine dieser Geraden ein Segment auf einer gegebenen Geraden schneidet, wird die andere das gleiche auf einer anderen Geraden tun, wobei eine feste Beziehung zwischen den beiden geschnittenen Segmenten besteht. Die genaue Bedeutung eines Porismus zu interpretieren und schließlich alle oder einen Teil der Aussagen von Euklids Werk aus den von Pappus hinterlassenen Informationen wiederherzustellen, hat viele Mathematiker beschäftigt; die bekanntesten Versuche sind die von Pierre Fermat im 17. Jahrhundert und Robert Simson im 18. Jahrhundert. Auch wenn die Rekonstruktion von Chasles als solche von den heutigen Historikern nicht ernst genommen wird, so hat sie dem Mathematiker doch zumindest die Möglichkeit gegeben, den Begriff der anharmonischen Beziehung zu entwickeln.

Zwei Bücher über geometrische Orte

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β' ging es um geometrische Orte auf Flächen oder um geometrische Orte, die selbst Flächen waren. In einer späteren Interpretation wird die Hypothese aufgestellt, dass es sich bei dem Werk um quadratische Flächen gehandelt haben könnte. Es handelt sich auch um ein Werk, das in zwei Büchern verloren gegangen ist und in der Schatzkammer von Pappus' Analyse erwähnt wird. Die bei Proclus oder Pappus gemachten Angaben zu diesen Stellen des Euklid sind nicht eindeutig, und es ist nicht bekannt, worum es in dem Werk genau ging. In der Tradition der antiken griechischen Mathematik sind "Orte" Punktmengen, die eine bestimmte Eigenschaft bestätigen. Bei diesen Mengen handelt es sich häufig um gerade Linien oder Kegelschnitte, aber es können auch z. B. ebene Flächen sein. Die meisten Historiker gehen davon aus, dass es sich bei Euklids Stellen um Rotationsflächen, Kugeln, Kegel oder Zylinder handeln könnte.

Erscheinungen des Himmels

Phänomene oder Erscheinungen des Himmels oder einfach Phänomene (# Φαινόμενα) ist eine Abhandlung über die Astronomie der Position, die in griechischer Sprache erhalten ist. Sie ähnelt einem Werk von Autolyt (Über den Begriff der Sphäre) und erörtert die Anwendung der Sphärengeometrie auf die Astronomie. Er ist in Griechisch in mehreren Manuskriptversionen überliefert, von denen die älteste aus dem 10. Dieser Text erklärt die so genannte "kleine Astronomie" im Gegensatz zu den Themen, die in der Großen Komposition (Almagest des Ptolemäus) behandelt werden. Er enthält 18 Thesen und steht den überlieferten Werken zum selben Thema von Autolyt von Pitane nahe.

Optik

Die Optik (Ὀπτικά) ist die älteste erhaltene griechische Abhandlung, die sich in mehreren Fassungen mit Problemen befasst, die wir heute als Perspektive bezeichnen würden. Offenbar für den Gebrauch in der Astronomie gedacht, nimmt es die erläuternde Form der Elemente an: Es ist eine Fortsetzung von 58 Sätzen, deren Beweis auf Definitionen und Postulaten beruht, die in den Prinzipien des Textes angegeben sind. In seinen Definitionen folgt Euklid der platonischen Tradition, die besagt, dass das Sehen durch Strahlen verursacht wird, die vom Auge ausgehen. Euklid beschreibt die scheinbare Größe eines Objekts im Verhältnis zu seiner Entfernung vom Auge und untersucht die scheinbaren Formen von Zylindern und Kegeln bei Betrachtung aus verschiedenen Perspektiven.

Euklid zeigt, dass die scheinbaren Größen gleicher Objekte nicht proportional zu ihrer Entfernung von unserem Auge sind (Satz 8). Er erklärt zum Beispiel, wie wir eine Kugel (und andere einfache Flächen) sehen: Das Auge sieht eine kleinere Fläche in der Mitte der Kugel, einen noch kleineren Anteil, je näher die Kugel ist, auch wenn die gesehene Fläche größer erscheint und der Umriss, den wir sehen, ein Kreis ist. Die Abhandlung widerspricht insbesondere einer in einigen Denkschulen vertretenen Meinung, wonach die wirkliche Größe von Objekten (insbesondere von Himmelskörpern) ihre scheinbare Größe ist, die man sieht.

Pappus hielt diese Ergebnisse für wichtig für die Astronomie und nahm Euklids Optik zusammen mit seinen Phänomenen in ein Kompendium kleinerer Werke auf, die vor dem Almagest des Claudius Ptolemäus studiert werden sollten.

Abhandlung über Musik

Proklos schreibt Euklid eine Abhandlung über die Musik (Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική) zu, die wie die Astronomie in Form einer Musiktheorie unter Anwendung von Proportionen zu den mathematischen Wissenschaften zählt. Zwei kleine Schriften sind auf Griechisch erhalten und wurden in antike Ausgaben von Euklid aufgenommen, aber ihre Zuordnung ist ungewiss, ebenso wie ihre mögliche Verbindung zu den Elementen. Die beiden Schriften (ein Abschnitt des Kanons über musikalische Intervalle und eine harmonische Einführung) werden hingegen als widersprüchlich angesehen, und zumindest die zweite wird heute von den Gelehrten als von einem anderen Autor stammend betrachtet.

Euklid fälschlicherweise zugeschriebene Werke

Die Katoptrik (Κατοητρικά) befasst sich mit der mathematischen Theorie der Spiegel, insbesondere der Bilder, die in konkaven ebenen und sphärischen Spiegeln entstehen. Seine Zuschreibung an Euklid ist zweifelhaft; sein Autor könnte Theon von Alexandria gewesen sein. Er erscheint in Euklids Text über Optik und im Kommentar von Proklos. Sie gilt heute als verloren, und insbesondere die Katoptrik, die lange Zeit als Fortsetzung der Optik in antiken Ausgaben veröffentlicht wurde, wird nicht mehr Euklid zugeschrieben und gilt als eine spätere Kompilation.

Euklid wird auch als Autor von Fragmenten zur Mechanik genannt, insbesondere in Texten über den Hebel und die Waage in einigen lateinischen oder arabischen Handschriften. Diese Zuschreibung wird jedoch heute als zweifelhaft angesehen.

Quellen

1. Euklid
2. Euclides
3. Dice que la relación de las tangentes de dos ángulos agudos es inferior a la relación de los ángulos,
4. Cette édition est accessible en ligne sur Internet Archive.
5. D’autres types de constructions apparaissent dans l’Antiquité, mais ne figurent pas dans les Éléments d’Euclide, comme la construction par « neusis » ou par inclinaison, un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données.
6. ^ Ball, pp. 50–62.
7. ^ Boyer, pp. 100–119.
8. Record #176184097, Record #113145857115322922311, Record #222960141, Record #301159474047527660202, Record #266578192, Record #305411082, Record #100219655, Record #667144647685769784378, Record #104169941, Record #314893948, Record #982154380949230291090, Record #173181669, Record #7963168049009338410008 // VIAF (мн.) — Даблин: OCLC, 2003.